西北农林科技大学：《机械CAD》课程PPT教学课件（讲稿）第3章 工程数据处理的数学基础

机械CAD程序编制的数学基础 编制机械CAD程序时常用的计算方法 方程求根及其程序 线性方程组求解 数值积分 常微分方程数值解法

机械CAD程序编制的数学基础 编制机械CAD程序时常用的计算方法  方程求根及其程序  线性方程组求解  数值积分  常微分方程数值解法

第一章方程求根方法 方程求根 求解区间内的初始近似解 牛顿迭代法 弦截法 二分法

第一章 方程求根方法 方程求根 求解区间内的初始近似解 牛顿迭代法 弦截法 二分法

方程根近似值的确定 设方程fx)=0,在区间[a,b内有一个且只有一个实数根x*,根据方程 的单调性连续性可知,在x*两侧的函数值f(x)肯定不同号。根据这个 原理,我们便可以确定某个区间[a,b]内的单实根x*的近似解。 从左端Ⅺ≡a开始,取一个步长h,h<=b-a,按照步长h一步一步向 区间上限靠近,每增加一个步长进行一次根的扫描,判断f(xo)与 f(×oh)是不是异号。如果同号,此时令Ⅻo=0+h,按步长h再向右跨 如果异号,那么x*必定在区间[X,xo+h,可以取Xo或者x0+h为近似值。 f(x) 厂 b

方程根近似值的确定 设方程f(x)=0，在区间[a,b]内有一个且只有一个实数根x*,根据方程 的单调性连续性可知，在x*两侧的函数值f(x)肯定不同号。根据这个 原理，我们便可以确定某个区间[a,b]内的单实根x*的近似解。 从左端x0=a开始，取一个步长h，h<=b-a，按照步长h一步一步向 区间上限靠近，每增加一个步长进行一次根的扫描，判断f(x0)与 f(x0+h)是不是异号。如果同号，此时令x0=x0+h,按步长h再向右跨。 如果异号，那么x*必定在区间[x0,x0+h]，可以取x0或者x0+h为近似值。 a b x* h f(x) x

例题一确定f(x)=x3-x-1=Q的初始 近似值。 注意到fO)=-10 可见f(x)在区间[0,2]之间至少有一个实根。 设从x=0出发,取h=05为步长向x=2靠近,记录 各个节点上函数的符号,我们发现区间[1,15] 内必有实根,因此可取x=1.0或者x=15作为 根的初始近似值。 判断次数x0X0+hF(xo)F(ohF(×xh 0 0.5 13751.375>0 23 0.51 1375-1 1.375>0 1.5 0875-0.875<0

注意到f(0)= -10 可见f(x)在区间[0,2]之间至少有一个实根。 设从x=0出发，取h=0.5为步长向x=2靠近，记录 各个节点上函数的符号，我们发现区间[1,1.5] 内必有实根，因此可取x0=1.0或者x0＝1.5作为 根的初始近似值。 判断次数 x0 X0+h F(x0) F(x0+h) F(x0)*f(x0+h) 1 0 0.5 -1 -1.375 1.375>0 2 0.5 1 -1.375 -1 1.375>0 3 1 1.5 -1 0.875 -0.875<0 ( ) 1 0 3 例题一 确定 f x = x − x − = 的初始 近似值

开始 输入:abhf(x) X0=a y0=f(×0 X0=x0+h Xo<b f(Xo)yo<=0 输出X 初始x设定不对 结束

开始 x0=a y0=f(x0) x0=x0+h 输入：a,b,h,f(x) x0<b f(x0)*y0<=0 输出x0 初始x0设定不对 结束 N N Y Y

方程根精确值的确定(1) 牛顿迭代法 求方程21的根,*,如果已知它的一个近似x2可利用y1r开式求出f)在x附近的线性近似,即 x与之间 忽略余项,则得方程②.1.1)的近似 f(2)(x2)+e(a2)(g-2x)=0 右端为的性方程,若(2)≠0,则爆水N体作E可作为()=(阅解新近似,即 f(r k+1 ,k=01 称为解方程2:.1)法在何上求方程(2)=0)解x*,即求曲线f()与轴点x*君已知x的一个近似x,通过点,f(x)作曲 线y()的订线,它与轴交点为xk+1,作为x新近似,如图23所示

方程根精确值的确定（1） 牛顿迭代法

注:牛顿迭代法是先确定根的某个初始近似值,然后用公式反复校 正根的近似值,使之逐渐精确化。 f(xn) k+1 y=f(a x3 I2

注：牛顿迭代法是先确定根的某个初始近似值，然后用公式反复校 正根的近似值，使之逐渐精确化。 ( ) ( ) 1 ' k k k k f x f x x + = x −

例题1 例用 Newton法求方程xe-1=(的根 解f(2)=xe2-1,y(x)=(x+1)e2,eoni代为 H15、-g k=0,1 x;+1 取x0=0.5,x1=0.57102,x2=0.56716,x3=0.56714,即为根xx的近似,它表明 Newton法收敛很快 迭代次数 Xk XK+1 Xk-XK+1 0 0.5 0.57102 -0.07102 0.57102 0.56716 0.00386 2 0.56716 0.56714 0.00002

例题1： 迭代次数 xk xk+1 xk-xk+1 0 0.5 0.57102 -0.07102 1 0.57102 0.56716 0.00386 2 0.56716 0.56714 -0.00002

弦截法求根: 由于牛顿法需要计算倒数,如果函数f(x)比较复杂,我们可以使用弦 截法,我们可以使用商差来替代牛顿公式中的倒数f(x),于是牛顿迭 代形式变为 k+1 f(k)-f(xk_p k-1 这个公式的几何意义在于 卫x+1 x+1紅kxk 弦截法的几何解释

弦截法求根： 由于牛顿法需要计算倒数，如果函数f(x)比较复杂，我们可以使用弦 截法，我们可以使用商差来替代牛顿公式中的倒数f’(x)，于是牛顿迭 代形式变为： 这个公式的几何意义在于 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 − − + − − = − k k k k k k k x x f x f x f x x x

例题2: 用弦截法求解方程xe-1=0 我们令f(x)=xe2-1 此时弦截迭代公式为: f(k) xX k+1 k X-X f(k)-f(k-p k-1 de XI-X k-1 k-1 取x0=0.5x1=06作为初始近似根 迭代次数 XK Xk XK+1 0.5 0.6 0.56532 2 0.6 0.56532 0.56715 3 0.56532 0.56715 0.56714

例题2： 用弦截法求解方程 我们令 此时弦截迭代公式为： −1= 0 x xe ( ) = −1 x f x xe ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 − − − − + − − − = − − − = − − x k k k x k x k k k k k k k k k x x x e x e x e x x x f x f x f x x x k k k 迭代次数 Xk－1 xk xk+1 1 0.5 0.6 0.56532 2 0.6 0.56532 0.56715 3 0.56532 0.56715 0.56714 取x0=0.5,x1=0.6 作为初始近似根