广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性微分方程组 5.1 存在唯一性定理

第五章线性微分方程组本章内容S5.1存在唯一定理S5.2线性微分方程组的一般理论S5.3常系数线性微分方程组A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一南二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 § 5.1 存在唯一定理 § 5.2 线性微分方程组的一般理论 § 5.3 常系数线性微分方程组 本章内容 第五章 线性微分方程组

5.1存在唯一定理线性微分方程组的有关概念二、存在唯一性定理国教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页L结束一市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 5.1 存在唯一定理 一、线性微分方程组的有关概念 二、存在唯一性定理

线性微分方程组的有关概念1线性微分方程组的定义定义形如x=a(t)x+a2(t)x+...+an(t)x+f()x=a(t)x+a22(t)x+...+a2n(t)xn+f(t)(5.1)x=an(t)x+an2(t)x+...+am(t)x+f(t)的微分方程组，称为一阶线性微分方程组其中a(t)(i,j-1,2,n),f(t)i-1,2,,n)在a≤t<b上连续A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、线性微分方程组的有关概念 1 线性微分方程组的定义 定义 形如 ' 1 11 1 12 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x a t x a t x a t x f t = + + + + ' 2 21 1 22 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x a t x a t x a t x f t = + + + + ' 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nn n n x a t x a t x a t x f t = + + + +      (5.1) 的微分方程组,称为一阶线性微分方程组. ( )( , , 1,2, , ), ( )( 1,2, , ) ij i 其中 在 上连续. a t i j n f t i n a t b = =  

设函数组x（t）i=12.n）在a≤t<b上连续，且dx,(t)2 - a,(t)x + a,(0)x, +..+am(0)x, + f,(0),dti=1,2,...,n则称函数组x(t),x(t)x(t)为微分方程组（5.1)在a<t<b上的一个解(5.1)含有n个独立的任常数cC,,,c,的解x()=(t,C,,,c),=1,2,...,n称为（5.1）的通解A\《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( )( 1,2, , ) i 设函数组 在 上连续,且 x t i n a t b =   1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), i i i in n i dx t a t x a t x a t x f t dt = + + + + i n =1, 2, , 1 2 ( ), ( ), , ( ) (5.1) n x t x t x t a t b   则称函数组 为微分方程组 在 上的一个解. 1 2 (5.1) , , , n 含有 个独立的任常数c 的解 n c c 1 2 , , , 1,2, , i n x t t c c i n i ( )= ( ,c ),  = 称为(5.1)的通解

2函数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为x(t)x(t)每一x（t）（i=1,2,n）在区间上有定义x(t)=·x()nxn函数矩阵A(t）定义为a,(t)aiz(t)aiz(t)·a22(t)a2n(t)azi(t)每一a（）在I上有定义A(t)an.(t)anz(t)...am(t)注：对向量或矩阵的代数运算的性质，对于以函数作为元素的矩阵同样成立A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二南结束首页二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 函数向量和函数矩阵的有关定义 (1) n维函数列向量定义为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n x t x t x t x t       =       ( )( 1,2, , ) i 每一 在区间I上有定义. x t i n = n n A t  函数矩阵 定义为 ( ) 11 12 12 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t       =       ( ) ij 每一a t 在I上有定义. 注: 对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元 素的矩阵同样成立

（2）函数向量和矩阵的连续，微分和积分的概念如果函数向量x（t）或函数矩阵A（t）的每一元素都是区间连续连续函数a≤t≤b上的则称x（t）或A(t）在a≤t<b上可微可微函数可积可积函数此时，它们的导数与积分分别定义为a.(t)aiz(t)ain(t)(x(0)··....a2n(t)a22(t)a2i(t)x2(t)A(t) =x(0)=·(0))an2(t)...amm(t)an(t)A4《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页结束下二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念 如果函数向量x t A t ( ) ( ) 或函数矩阵 的每一元素都是区间 a t b ,        连续函数 上的 x t A t a t b ( ) ( ) ,        连续 可微函数 则称 或 在 上 可微 可积函数 可积 此时,它们的导数与积分分别定义为 ' 1 ' ' 2 ' ( ) ( ) ( ) , ( ) n x t x t x t x t       =         ' ' ' 11 12 1 ' ' ' ' 21 22 2 ' ' ' 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t       =      

x,(s)ds注：关于函数向量与矩阵的微分，积分运算法则，和普Jx2(s)ds"x(s)ds=通数值函数类似x,(s)ds'ai(s)dsai,(s)dsa2(s)dsJ'aai(s)dsa2n(s)dsa22(s)ds"A(s)ds =LOan(s)dsan(s)ds(s)dsQ《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t n t x s ds x s ds x s ds x s ds         =               0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t n t t t t t t t n t t t t t t t n n nn t t t a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds A s ds a s ds a s ds a s ds         =                     注: 关于函数向量与矩阵的 微分,积分运算法则,和普 通数值函数类似

（3）矩阵向量的范数对n维列向量x=（x，x2,x）及nxn矩阵定义文A=（a,）nxn，定义它们的范数为[x-2x,,4- 2[a,i=1设A.B是n×n矩阵，x和y是n维列向量，A(t),x(t)是在[ab上可积的函数矩阵和向量，则易验证有下面的性质1AB≤ABAx≤Ax,2°A+B≤A+Bx+, A(s)ds≤'A(s)lds,30 x(s)ds'x(s)]ds,(a≤b).二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3 ) 矩阵向量的范数 定义 1 2 ( , , , ) ( T n ij n x x x x n n A a  =  = n n 对 维列向量 及 矩阵 ) ,定义它们的范数为 1 , n i i x x = =  , 1 , n ij i j A a = =  , , , ( ), ( ) [ , ] , 设 是 矩阵 和 是 维列向量 是在 A B n n x y n A t x t a b  上可积的函数矩阵和向量则易验证有下面的性质 0 1 , AB A B  Ax A x  , 0 2 , A B A B +  + x y x y +  + , 0 3 ( ) ( ) , b b a a x s ds x s ds    ( ) ( ) , b b a a A s ds A s ds    ( ). a b 

（4）向量或矩阵序列的敛散性1°向量序列x,=(X，2k",）称为收敛的,如果对每一个i(i=1,2,…,n),数列(x)收敛函数向量序列(x(),x(t)=(x(t),x2(t),.,xm(t)称为在a≤t≤b收敛(一致收敛)如果对每个i（i=1,2,n），函数序列x（t在a≤t≤b上是收敛（一致收敛）802°设亡x(0)是函数向量级数,如果部分和所组成的函k=1数向量序列在a≤t<b收敛（一致收敛）8则称x(t)在a≤t≤b收敛(一致收敛)。k=1AM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页T结束一市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (4 ) 向量或矩阵序列的敛散性 0 1 2 1 { }, ( , , , ) , ( 1,2, , ), { } T k k k k nk ik x x x x x i i n x = = 向量序列 称为收敛的 如果 对每一个 数列 收敛. 1 2 { ( )}, ( ) ( ( ), ( ), , ( ))T k k k k nk x t x t x t x t x t a t b =   函数向量序列 称为在 收敛 ( 1,2, , ), { ( )} ik 如果对每一个 函数序列 在 i i n x t a t b =   上是收敛 (一致收敛), (一致收敛). 1 ( ) , k k x t a t b  =    0 2 设 是函数向量级数 如果部分和所组成的函 数向量序列在 收敛 1 ( ) k k x t a t b  = 则称 在   收敛 (一致收敛), (一致收敛)

如果x()≤Mk,at≤b,808而级数M，收敛，则函数向量级数x(t)在a≤t<bk=1k=1上一致收敛如果函数向量序列x（t）在a≤t≤b上一致收敛，则lim f' x (t)dt =" lim x (t)dt,k00ak8如果函数向量级数x(t)在a≤t≤b上一致收敛，则k=10021'x(0)dt ='2x(0d.k=1k=-1《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如果 ( ) , , k k x t M a t b    1 k k M  = 而级数 收敛,  1 ( ) k k x t a t b  = 则函数向量级数 在   上一致收敛. { ( )} k 如果函数向量序列 x t a t b 在   上一致收敛,则 lim ( ) lim ( ) , b b k k k k a a x t dt x t dt → → =  ( ) k x t a t b     k=1 如果函数向量级数 在 上一致收敛,则 1 1 ( ) ( ) . b b k k a a k k x t dt x t dt   = =   =  