《离散数学 Discrete Mathematics》课程教学资源（习题集）《集合论与图论》课堂练习3（2013年12月）

《集合论与图论》课堂练习3 (2013年12月18日13:20-15:00复旦大学计算机学院2012级) 判断下列命题是否正确,并说明理由。(括号内写“是”或“否”)(40分,每题8分, 是非判断4分,证明或反例4分) 1存在7个结点的自补图。 2设G是顶点数n≥3的连通图。则G没有割点当且仅当G的剖分也没有割点

《集合论与图论》课堂练习 3 （2013 年 12 月 18 日 13:20-15:00 复旦大学计算机学院 2012 级） 学号 姓名 一、判断下列命题是否正确，并说明理由。（括号内写“是”或“否” ）（40 分，每题 8 分， 是非判断 4 分，证明或反例 4 分） 1 存在 7 个结点的自补图。 （ ） 2 设 G 是顶点数 n  3 的连通图。则 G 没有割点当且仅当 G 的剖分也没有割点。 （ ）

3若G是简单连通图,边数为e,结点数为n。若e≥n,则G至少有3棵生成树。 4一个有向图D中仅有一个顶点的入度为0,其余顶点的入度均为1,则D是 有根树。 5设C是简单连通图G的回路,若删去C中任一边后所得到的路C为G中的最长路,则 C是图G的哈密顿回路

3 若 G 是简单连通图，边数为 e，结点数为 n。若 en，则 G 至少有 3 棵生成树。 （ ） 4 一个有向图 D 中仅有一个顶点的入度为 0，其余顶点的入度均为 1，则 D 是 有根树。 （ ） 5 设 C 是简单连通图 G 的回路，若删去 C 中任一边后所得到的路 C’为 G 中的最长路，则 C 是图 G 的哈密顿回路。 （ ）

二、综合题(60分) 1.证明:任何平面图是5-可着色的 2.如果有一群人,其中有k个人彼此认识或者有l个人彼此不认识。我们用rkD表示这群 人至少是有几个人的人数,称为 Ramsey数。证明:r(3,3)=6。 证明:

二、综合题（60 分） 1．证明：任何平面图是 5-可着色的。 2．如果有一群人，其中有 k 个人彼此认识或者有 l 个人彼此不认识。我们用 r(k, l)表示这群 人至少是有几个人的人数，称为 Ramsey 数。证明：r(3, 3)=6。 证明：

3.如果为一个无向图的每一条边确定一个方向,使得所得到的有向图是强连通 的,称该无向图是可定向的。证明:欧拉图和哈密顿图都是可定向 注明: 4.设G为非平凡有向图,V为G的结点集合,若对V的任一非空子集S,G中起始结点在S 中,终止结点在V-S中的有向边至少有k条,则称G是k边连通的。 证明:非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的 证明:

3．如果为一个无向图的每一条边确定一个方向，使得所得到的有向图是强连通 的，称该无向图是可定向的。证明：欧拉图和哈密顿图都是可定向。 注明： 4．设 G 为非平凡有向图，V 为 G 的结点集合，若对 V 的任一非空子集 S，G 中起始结点在 S 中，终止结点在 V-S 中的有向边至少有 k 条，则称 G 是 k 边连通的。 证明：非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的。 证明：

5.证明:任何一个竞赛图是半哈密顿图。 证明: 6三对夫妇到达一条河流的岸边,每个妻子都是妒忌的,当她的丈夫与其他人 的妻子在一起而她不在场时,她就无法忍受。只用一条只能运载两个人的船,如 何能使三对夫妇到达河的另一边,且没有一个丈夫在他妻子不在场时与他的妻子 之外的女人相处?使用图论模型解答

5．证明：任何一个竞赛图是半哈密顿图。 证明： 6 三对夫妇到达一条河流的岸边，每个妻子都是妒忌的，当她的丈夫与其他人 的妻子在一起而她不在场时，她就无法忍受。只用一条只能运载两个人的船，如 何能使三对夫妇到达河的另一边，且没有一个丈夫在他妻子不在场时与他的妻子 之外的女人相处？使用图论模型解答

7如果在一个地图上任何两个地区都相邻,问在该地图上最多有几个地区?

7 如果在一个地图上任何两个地区都相邻，问在该地图上最多有几个地区？