复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第一章 金属自由电子气体模型_自由电子气的其他性质

上讲回顾 用半经典模型解决了 Drude模型对比热高估的 问题—高估了参与热激发的电子数目 模型: Sommerfeld仍然沿用 Drude模型的基本 假定,但用量子力学来处理金属自由电子气 给出了基态(T=0)的重要性质,引入即使超出自 由电子气也仍然有效的一些重要概念 #费米能级、状态密度 自由电子气的其他性质

自由电子气的其他性质 1 上讲回顾 • 用半经典模型解决了Drude模型对比热高估的 问题——高估了参与热激发的电子数目 • 模型：Sommerfeld仍然沿用Drude模型的基本 假定，但用量子力学来处理金属自由电子气 * 给出了基态（T=0）的重要性质，引入即使超出自 由电子气也仍然有效的一些重要概念  费米能级、状态密度

本讲目的:电子气在低温和外场下 1.低温下金属自由电子性质与基态有何不同? 2.自由电子气在电磁场下如何运动? 自由电子气的其他性质

自由电子气的其他性质 2 本讲目的：电子气在低温和外场下 1. 低温下金属自由电子性质与基态有何不同？ 2. 自由电子气在电磁场下如何运动？

第3讲、自由电子气的其他性质 自由电子气低温性质(利用低温费米分布特性) *比热(低温时,电子贡献才是主要的) *费米能级、总能( Sommerfeld积分) 电磁场中的电子气 *Ha败应(半经典) *朗道能级(量子) 自由电子气的其他性质

自由电子气的其他性质 3 第3讲、自由电子气的其他性质 1. 自由电子气低温性质(利用低温费米分布特性) * 比热（低温时，电子贡献才是主要的） * 费米能级、总能（Sommerfeld积分） 2. 电磁场中的电子气 * Hall效应（半经典） * 朗道能级（量子）

相比于基态,极低温下的电子气性质 会有哪些不同? 自由电子气的其他性质

自由电子气的其他性质 4 相比于基态，极低温下的电子气性质 会有哪些不同？

1、自由电子气低温(kT<E性质 引进温度,即引进费米分布 f(E) E-EF)kBT 用总电子数确定Ferm能级 E C√EdE,T=0 n=L f(E)D(EdE Cr/( eNDe.7≠0 确定电子气能量 CIE 3/2 E.T=0 U= f(E)D(E)EdE Ch f(eE dE, T*0

自由电子气的其他性质 5 1、自由电子气低温 (kBT<<EF)性质 • 引进温度，即引进费米分布 • 用总电子数确定Fermi能级 • 确定电子气能量 1 1 ( ) ( )/   EEF kBT e f E            0 0 0 ( ) , 0 , 0 ( ) ( ) 0 F C f E EdE T C EdE T N f E D E dE E            0 3/ 2 0 3/ 2 0 ( ) , 0 , 0 ( ) ( ) 0 F C f E E dE T C E dE T U f E D E EdE E

T≠0电子被热激发,看被积函数 ■■■ D(E)=C√E f(E)D(E)=C√E f(E)D(E)=0 ■■■"■""■■■■ √E f(E)D(E) (E-EF)/K N=f(E)D(E)dE s U=S f(ED(EEde 气 的

自由电子气的其他性质 6 电子被热激发，看被积函数   0 N f (E)D(E)dE   0 N f (E)D(E)dE T  0 D(E)  C E EF ( ) ( ) 0 ( ) ( ) F F E E E E f E D E f E D E C E     1 ( ) ( ) ( )/ F   EE kBT e C E f E D E kBT   0 U f (E)D(E)EdE

低温时费米分布的数学性质 af OE ≠0 kBT<< Ep 1类画函数且是(B一E)的偶函数 aE 20 4 6 so 100 1≥o

自由电子气的其他性质 7 T  0 E f    T  0 BT EF k  类 函数, 且是(E EF )的偶函数 Ef     低温时费米分布的数学性质

d(E)/dE的对称性 对费米分x=(E-k 布,其对E 的导数总是Af(E)()+1C+1 f(x) x=(E-)的 偶函数 e 当T→0时, ,x≥0 才是d函de 数 e2+1 x<0 自由电子气的其他性质

自由电子气的其他性质 8                                          , 0 1 , 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 B B x e e x e e e e dx df f x e e f E x E k T x x x x x x E  k T x  -df(E)/dE的对称性 • 对费米分 布，其对 E 的导数总是 x=(E- μ ) 的 偶函数 • 当 T 0时， 才是delta 函 数

A.比热(kBT<EP 总能量 U=L D(E)(E)EdE 总电子数 f(eD(e)dE ∥EN=Ef(B)D(EE U 对这两个式子求导,得==「 dEED(E) T aT 10= dEE D(E) aT 相减后,得c=,aE(E-EDOE f OT 根据(EE)JT的类δ函数性质,可以近似得 到 c≈D(E"dE(E-E)O T

自由电子气的其他性质 9 A. 比热(kBT<<EF) • 总能量   0 U D(E) f (E)EdE • 总电子数   0 N f (E)D(E)dE • 对这两个式子求导，得      0 el ( ) Tf dEED E TU CV T f dEE D E    0 F 0 ( )   0 F F E N E f (E)D(E)dE • 相减后，得       0 F el ( ) Tf CV dE E E D E • 根据(E-EF)df/dT的类δ函数性质，可以近似得 到       0 F F el ( ) Tf CV D E dE E E

对费米分布求导可E=E (E-EF)KRT Tk72[E-1)k7+1 进行变量替换,x=(E-E)k7 c≈D( f EpIdE(E-Ees e 0 ot=kgTD(Ep )__e /sr dax e+1 低温时,可将积分下限推至负无穷大,得 2 e axx e+1 于是C=2k2D(E)=2k T-N 32E B F 与前面的半经典估计比较 cel e nk 自由电子气的其他性质

自由电子气的其他性质 10 • 对费米分布求导       2 / / 2 B F 1 F B F B        E E k T E E k T e e k T E E T f • 进行变量替换， x   E  E F  / k B T                E k T x x V e e k TD E dxx T f C D E dE E E F B / 2 2 F 2 B 0 F F el 1 ( ) ( ) • 低温时，可将积分下限推至负无穷大，得   1 3 2 2 2        x x e e dxx F B 2 F 2 B 2 F 2 B 2 el 2 2 3 3 ( ) 3 T T N Nk E C V k TD E k T    • 于是    • 与前面的半经典估计比较 F B el T T C Nk V 