《力学》课程教学资源（参考资料）对称性与守恒量（2/2）守恒律

第二章； 守恒律 aL d aL 力学规律： aq dt aq =0(a=1,2,…,s） 拉格朗日方程→ 1.解方程得到运动规律；2.得到守恒量。 广义坐标：9a=qa(t) 广义速度：9。=9。(t) 由q.(t)和9.()组成一些不随时间变化的量（守恒量） 守恒量→求运动方程的解；分析解的性质

第二章 守恒律 力学规律： 拉格朗日方程 1.解方程得到运动规律；2.得到守恒量。 广义坐标： 广义速度： 由 和 组成一些不随时间变化的量(守恒量) 守恒量 求运动方程的解；分析解的性质

§1.2.1动量和能量 一、循环坐标与广义动量 d aL aL 比较：拉格朗日方程 dt oqa 0qa 和牛顿方程 定义：pa= aL qa —一—广义动量 Sa= L qa 一一广义力

§1.2.1 动量和能量 一 、循环坐标与广义动量 比较：拉格朗日方程 和牛顿方程 定义： ——广义动量 ——广义力

例子1：对在保守场中运动的单个质点，有 1=7-0=)m成-U一直角坐标系 广义动量 k Pi=7 oL =m% ac 一一通常的动量 广义力 f= aL aU 通常的力

例子1：对在保守场中运动的单个质点，有 ——直角坐标系 广义动量 ——通常的动量 广义力 ——通常的力

例子2：对在有心力场中运动的质点，有 1=m2+r8+rsn0o)-0m- 球坐标系 对应于广义坐标0的广义动量： =mr2 sin20 广义力： f。= =0

例子2：对在有心力场中运动的质点，有 ——球坐标系 对应于广义坐标 的广义动量： 广义力：

质点m到轴的垂直距离：rsin0,则 I=m(rsinθ)2 质点绕轴的转动惯量 于是对应于P的广义动量可写为： P。=1⊙ 绕z轴的角动量 由拉格朗日方程得： dt 在有心力场中，绕任意选取的轴的角动量守恒

质点m到轴的垂直距离： ，则 ——质点绕轴的转动惯量 于是对应于 的广义动量可写为： ——绕z轴的角动量 由拉格朗日方程得： ——在有心力场中，绕任意选取的轴的角动量守恒

广义动量P。守恒的原因：在拉格朗日函数L中不包含 对应的广义坐标p。 (这只是从数学形式上的原因，物理上的原因？) 一般结论： 如果在拉格朗日函数中不包含某一个广义 坐标q。,则称这一广义坐标为循环坐标。和循环坐标 对应的广义动量守恒。 d oL aL dt oqa qa dt

广义动量 守恒的原因：在拉格朗日函数 L中不包含 对应的广义坐标 。 (这只是从数学形式上的原因，物理上的原因？) 一般结论：如果在拉格朗日函数中不包含某一个广义 坐标 ，则称这一广义坐标为循环坐标 。和循环坐标 对应的广义动量守恒

二、能量 一般情况： L=L(q(t),9.(t),)一一显含时间变量1 例：处于随时间变化的外场中的系统，其拉格朗日 函数为L=T-U(g,t) L显含时间变量1 系统与外力场的源必有能量交换， 系统不是保守系。 对保守系，L不明显含变量1，则L=L(q,(t),9(t)。 y=

二、能量 一般情况： ——显含时间变量t 例：处于随时间变化的外场中的系统，其拉格朗日 函数为 ——L显含时间变量t ——系统与外力场的源必有能量交换， 系统不是保守系。 对保守系，L不明显含变量t，则

d aL 拉格朗日方程： →受-台受+是小品是 器小 定义： 3器 一一机械能（能量 a=1 显然： )一一保守系统的能量守恒

拉格朗日方程： 定义： ——机械能(能量) 显然： ——保守系统的能量守恒

在直角坐标系中，动能只是速度x,的函数，不是坐标 的x,函数，但在广义坐标中，动能T=T(q,9),则 L=T(gz,9a)-U(ga)。 动能T是广义速度9。的二次齐次式。 例：有心力场中动能T=。mG2+r02+r2sn20o2) 动能T是广义速度广，0,0的二次齐次式。 通常：动能都是广义速度的二次齐次式

在直角坐标系中，动能只是速度 的函数，不是坐标 的 函数，但在广义坐标中，动能 ，则 。 动能 T是广义速度 的二次齐次式。 例：有心力场中动能 动能 T是广义速度 的二次齐次式。 通常：动能都是广义速度的二次齐次式

根据齐次函数的欧拉定理，如果f(4,42,…,4,)是 s个变量u,的n次齐次式，则 器以 由于动能T是广义速度9。的二次齐次函数，则有 空阁=r 而

根据齐次函数的欧拉定理，如果 是 s个变量 的n次齐次式，则 由于动能T是广义速度 的二次齐次函数，则有 而