北京理工大学理学院力学系：《工程力学》课程教学课件（PPT讲稿，下册）第二十五章 动力学普遍方程

第二十五章动力学普遍方程和 拉格朗日方程 25.1动力学普遍方程 例题1 25.2第二类拉格朗目方程 例题2例题3例题4例题5

第二十五章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程 25.1 动力学普遍方程 例题1 25.2 第二类拉格朗日方程 例题2 例题3 例题4 例题5

第二十五章动力学普遍方程 和抗格朗日方程 根据达朗伯原理和虚位移原理,可 以导出非自由质点的动力学普方程。 利用它解决问题时,可以避免约束反力 在动力学方程中的出现,比较方便 第一类拉格朗日方程用直角坐标描述的 非自由质点系的拉格朗日方程 --模拟和求解复杂系统的动力学问 题

第二十五章 动力学普遍方程 和拉格朗日方程 根据达朗伯原理和虚位移原理，可 以导出非自由质点的动力学普遍方程。 利用它解决问题时，可以避免约束反力 在动力学方程中的出现，比较方便! 第一类拉格朗日方程：用直角坐标描述的 非自由质点系的拉格朗日方程 ------模拟和求解复杂系统的动力学问 题

第二类拉格朗日方程将完整约束系统的动 力学普遍方程表示为广义坐标的形式,可以 推得。 可以直接写出个数与系统自由 度相同的独立运动方程 25.1动力学普遍方程 设一个质点系由n个质点组成, 第i个质点的质量为1 在任意瞬时加速度为L1

第二类拉格朗日方程：将完整约束系统的动 力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以 推得。 ----可以直接写出个数与系统自由 度相同的独立运动方程。 25.1 动力学普遍方程 设一个质点系由n个质点组成， ai r 在任意瞬时,加速度为 第i个质点的质量为 mi

根据达朗伯原理,在其上加达朗伯惯性力 L==midi F 约束反力的合力 P++=0(2=1,2……m) (25.1 作用于此质点上 的主动力的合力 达朗伯惯性力

根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力 m ai Fiq i r r = − 作用于此质点上 的主动力的合力 约束反力的合力 达朗伯惯性力 + + = 0 Fi Ni Fi q r r r (i =1,2,..........n) (25.1) 则

点积虚位移 (F+N+F1)r=0(=12 对这n个式子求和 (25.2) ∑(F+M+F)5r=0 (25.3) 若为理想约束,由虚位移和理想约束的条件知 ∑Nr=0 i=1

点积虚位移 ri  对这n个式子求和 若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知 (i =1,2,..........n) (25.2) ( + + ) = 0 Fi Ni Fi q ri  ( ) 0 1  + + = = Fi Ni Fiq ri n i  (25.3) 0 1  = = N ri n i i 

上式变为: ∑(F+F)0r2=0或者∑(F一md)=0(254) 动力学普遍方程或者达朗伯_拉格朗日原理 说明 在具有理想约束的质点系中,在 运动的任一瞬时,作用在其上的主动力 系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何 一组虚位移上的虛功之和等于零

在具有理想约束的质点系中，在 运动的任一瞬时，作用在其上的主动力 系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何 一组虚位移上的虚功之和等于零。 动力学普遍方程或者达朗伯—拉格朗日原理 说明 ( ) 0 ) 0 1 1  + =  − = = = F F r F miai ri n i i iq i i n i  或者 （  (25.4) 上式变为：

例25.1如图所示,有两个半径皆为 r的轮子A,B,轮心通过光滑圆柱铰链 与直杆AB相连,在倾角为的固定不 动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为P, 重心都在轮上,对轮心的转动惯量为J, 连杆重Q。求连杆运动的加速度。 解: M (1)以两轮和连杆组成 的系统为研究对象 阝系统所受约束为理想约 Q 束 B

例25.1 如图所示，有两个半径皆为 r的轮子A，B，轮心通过光滑圆柱铰链 与直杆AB相连，在倾角为 的固定不 动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为P， 重心都在轮上，对轮心的转动惯量为J， 连杆重Q。求连杆运动的加速度。  解: (1)以两轮和连杆组成 的系统为研究对象 系统所受约束为理想约 束 a A B F1q F2q F3q  P P Q M2q M1q

(2)系统所受的主动力为重力P,P和Q (3)轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为 通过轮心的达朗伯惯性力应F=2 达朗伯惯性力偶矩M=M2=其中a=7 连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其 质心的一个达朗伯惯性力F=ga 若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为8, 则轮心的虚位移也为轮子相应的虚转角o=画

若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为 , 则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角 s r s  = (3) 轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为 通过轮心的达朗伯惯性力 达朗伯惯性力偶矩 其中 a g P F q F q = = 1 2 M M J q q = = 1 2 r a  = 连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其 质心的一个达朗伯惯性力 a g Q F q = 3 (2)系统所受的主动力为重力P,P和Q

(5)根据动力学普遍方程 (2P+9smB8-(F1n+F2+F3)os-(M+M200=0 “(2P+Q)r2+2k方向平行于斜面向下 (2P+Ogr sin B 25.2第二类拉格朗日方程 直接用质点系的广义坐标的变分来表示各 质点的虛位移,对完整约束系统来说,可推 得与系统自由度相同的一组独立的运动微 分方程

（5） 根据动力学普遍方程 (2 )sin ( ) ( ) 0 1 2 3 1 2 +   − F +F +F  − M +M   = q q q q q P Q s s P Q Jg P Q g a r r (2 ) 2 (2 ) sin 2 2 + + + = 得：  方向平行于斜面向下. 25.2 第二类拉格朗日方程 直接用质点系的广义坐标的变分来表示各 质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推 得与系统自由度相同的一组独立的运动微 分方程

设完整约束的质点系由n个质点组成,系统的自 由度为k,广义坐标为q1q2…q 各质点相对于定点0的矢径可表示为 71=r1(9192…20)(i=1,2 (25.5) 各点的虚位移可表示为 6r=2 q (1=12.mn)(256) 代入∑(+点)512=或者-m)=0

设完整约束的质点系由n个质点组成,系统的自 由度为k,广义坐标为 q q qk , ......, 1 2 各点的虚位移可表示为 代入 ( ) 0 ) 0 1 1  + =  − = = = r m ai ri i n i i i i i q n i F F F r r r r r r  或者 （  各质点相对于定点O的矢径可表示为 ( , ,......, , ) 1 2 q q q t r r k i i = (i =1,2,.......) (25.5) q （25.6) q r r j n i j i i    =   = 1 (i = 1,2...n)