湖南环境生物学院：《环境评价与系统分析》 第二章 数学模型概述

环境质量评价与系统分析 湖南环境生物学院环科系 彭亮

环境质量评价与系统分析 湖南环境生物学院环科系 彭亮

2.数学模型概述 ■21数学模型的定义和分类 ■22数学模型的建立 ■221建立数学模型的过程 ■222对模型的基本要求 22.3数学模型的验证和误差分析 ■2.3 Excel在建立数学模型的应用 ■2.31污水处理的线性回归分析 232结构分析和曲线拟合 23.3用Exce进行参数估计

2. 数学模型概述 ◼ 2.1 数学模型的定义和分类 ◼ 2.2 数学模型的建立 ◼ 2.2.1 建立数学模型的过程 ◼ 2.2.2 对模型的基本要求 ◼ 2.2.3 数学模型的验证和误差分析 ◼ 2.3 Excel 在建立数学模型的应用 ◼ 2.3.1 污水处理的线性回归分析 ◼ 2.3.2 结构分析和曲线拟合 ◼ 2.3.3 用Excel进行参数估计

21数学模型的定义和分类 定义:如果一个事物M与另一个事物S之间,满 足两个条件: M中包含有一些元素(分量),每个元素(分量)分 别对应和代表S中的一个元素(分量); M中的上述分量之间应存在一定的关系,这种 个关系可以用于与S的分量间关系进行类比 ■我们则将事物M称为事物S的模型。满足上述 模型条件的具体数学表达式和算法叫做数学模

2.1 数学模型的定义和分类 定义:如果一个事物 M 与另一个事物 S 之间，满 足两个条件： ◼ M 中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分 别对应和代表 S 中的一个元素(分量)； ◼ M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种 个关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。 ◼ 我们则将事物 M 称为事物 S 的模型。满足上述 模型条件的具体数学表达式和算法叫做数学模 型

模型的形式 激学模型方程式,函数,逻辑式 抽象模型 图象模型流程图,方向图,框图 计算杋程序:计算程序,模拟程 模型 相似模型:(实物放大缩小) 具体模型 建筑模型,风洞实验模型 模拟模型:电模拟模型

模型的形式 模型 抽象模型 具体模型 数学模型:方程式,函数,逻辑式 图象模型:流程图,方向图,框图； 计算机程序:计算程序,模拟程 序 相似模型:(实物放大缩小) 建筑模型，风洞实验模型 模拟模型:电模拟模型

讨论题 用建立数学模型的方法讨论,用一盆水清洗 衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服, 哪个效果好 定义: 设,一盆水水量L, M中包含有一些元素份量,衣服中污染物质量M, 每个元素(分量分别对应和代余水量L1,残余物比 表S中的一个元素(分量); 较: M中的上述分量之间应存在 定的关系,这种个关系可物理简化法; 以用于与S的分量间关系进 行类比。 数学简化法

讨 论 题 用建立数学模型的方法讨论，用一盆水清洗 衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服， 哪个效果好。 定义： ◼ M 中包含有一些元素(分量)， 每个元素(分量)分别对应和代 表 S 中的一个元素(分量)； ◼ M 中的上述分量之间应存在 一定的关系，这种个关系可 以用于与 S 的分量间关系进 行类比。 设，一盆水水量 L， 衣服中污染物质量M， 余水量L1 ，残余物比 较； 物理简化法； 数学简化法

22数学模型的建立 ■221建立数学模型的过程 ■222对模型的基本要求 ■22.3数学模型的验证和误差分析

2.2 数学模型的建立 ◼ 2.2.1 建立数学模型的过程 ◼ 2.2.2 对模型的基本要求 ◼ 2.2.3 数学模型的验证和误差分析

建立数学模型的步骤 观测数模型结 参数 模型 据组 构选择估计 检验与验 应用 证 观测数据组Ⅱ 图2-2

建立数学模型的步骤 观测数 据组Ⅰ 模型结 构选择 模型 应用 观测数据组Ⅱ 参数 估计 检 验 与 验 证 图2-2

模型的结构选择 (1)白箱模型 根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物 化遂審建的务淫绎耍新势 型是机理 具有唯一性 2)灰箱模型 ■即半杋理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模 型都包含一个或多个待定参数这些待定参数一般无法由过 程杋理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果 (3)黑箱模型 即输入-输岀模型。需要大量的输入、输岀数据以获得经验模 型 在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。 根据对系统输入输出数据的观测在数理统计基础上建立起 经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯

模型的结构选择 ◼ (1)白箱模型 ◼ 根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物 理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模 型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。 ◼ (2)灰箱模型 ◼ 即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模 型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过 程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。 ◼ (3)黑箱模型 ◼ 即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模 型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。 根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起 经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性

23 Excel在建立数学模型的应用 ■23.1污水处理的线性回归分析 ■232结构分析和曲线拟合 ■233用Exce进行参数估计

2.3 Excel 在建立数学模型的应用 ◼ 2.3.1 污水处理的线性回归分析 ◼ 2.3.2 结构分析和曲线拟合 ◼ 2.3.3 用Excel进行参数估计

污水处理的线性回归分析 ■例2-2某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测 帐如表2-4所示,试根据3月份的数据建立其出水 COD对应入水C○D的线性回归模型,然后用4月 份的数据进行验证。 表2-5出水COD对应入水COD回归统计结果 Multiple R 0.630237 Intercept 43.25682 X Variable 1 0.136996 标准误差 26.22009 观测值 24

污水处理的线性回归分析 ◼ 例2-2 某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台 帐如表2-4所示，试根据3月份的数据建立其出水 COD对应入水COD的线性回归模型，然后用 4月 份的数据进行验证。 表2-5 出水COD对应入水COD回归统计结果 Multiple R 0.630237 Intercept 43.25682 X Variable 1 0.136996 标准误差 26.22009 观测值 24