《计算方法》第六章（6-3）复化求积公式

§3复化求积公式 ●复化求积法的基本思想 将积分区间[a,bn等分,可得到n+1个求积节 点:xk=a+Mh,(k=0,1,…,n),其中h b-a 对 积分/=(x)=∑∫(x)=∑/k k=0 k=0 在每一个小区间[xk2x+1]上利用n阶牛顿-柯特斯 公式计算,然后对每个区间的近似积分值求和,用 所得的值近似代替原积分值。如此得到的求积公式 称为复化求积公式 ●复化梯形公式:(每个小区间上利用梯形公式求 积) b f(x)k=∑f(x)x k=0°k ∑xk+1x(f(xk)+f(xk#) k=0 求和展开得:

§3 复化求积公式 ⚫ 复化求积法的基本思想： 将积分区间 [a,b]n 等分，可得到 n + 1 个求积节 点： xk = a + kh ， (k = 0,1,  ,n) ，其中 n b a h − = ，对 积分 1 1 1 0 0 ( ) ( ) k k n n b x k a x k k I f x dx f x dx I + − − = = = = =     在每一个小区间 1 [ , ] k k x x + 上利用 n 阶牛顿-柯特斯 公式计算，然后对每个区间的近似积分值求和，用 所得的值近似代替原积分值。如此得到的求积公式 称为复化求积公式。 ⚫ 复化梯形公式：（每个小区间上利用梯形公式求 积） 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 k k n b x a x k n k k k k k I f x dx f x dx x x f x f x + − = − + + = = = −  +     求和展开得：

Tn==(f(xo)+f(x1))+(f(x1)+f(x2) +…+(f(xn21)+f(xn n(f(a)+2∑f(xk)+f(b) k=1 b-a 其中,h ●复化辛甫生公式:(每个小区间上用辛甫生公式 求积) 1、公式: f(x)k=∑」f(x)x k=0 k=06(f(xk)+4(x1+)+f(xk+1 k+1表示为区间[xk2xk+1的中点。 求和展开得: Sn=z((x)+4f(x1)+f(x)+(f(x1)+4f(x2) +f(x2))+…+(f(xn-1)+4f(xn-1)+f(xn)

0 1 1 2 1 1 1 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) ( ( ) 2 ( ) ( )) 2 n n n n k k h T f x f x f x f x f x f x h f a f x f b − − = = + + + + + + = + +  其中， n b a h − = ⚫ 复化辛甫生公式: （每个小区间上用辛甫生公式 求积） 1、公式： 1 1 2 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ( ) 4 ( ) ( )) 6 k k n b x a x k n k k k k k k I f x dx f x dx x x f x f x f x + − = − + + + = = = −  + +     1 2 k x + 表示为区间 1 [ , ] k k x x + 的中点。 求和展开得： 1 3 2 2 1 2 0 1 1 2 1 (( ( ) 4 ( ) ( )) ( ( ) 4 ( ) 6 ( )) ( ( ) 4 ( ) ( )) n n n n h S f x f x f x f x f x f x f x f x f x − − = + + + + + + + + +

6((a)+42>(x+)+2/(x)+f(b) b 其中:h ●复化柯特斯公式:(每个小区间上用柯特斯公式 求积) b f(x)dk=∑f(x)d k=0 ∑。“(7f(xk)+32(x+) k=0 +12J(x+)+32f(xk+)+7(x+) k+为[x,xk+1]的中点,xk+},xk+2为 xk2,xk+1的四分之一分点。 求和展开得:

1 2 1 1 0 1 ( ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )) 6 n n k k k k h f a f x f x f b − − + = = = + + +   其中： n b a h − = 。 ⚫ 复化柯特斯公式：（每个小区间上用柯特斯公式 求积） 1 1 4 1 3 2 4 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) (7 ( ) 32 ( ) 90 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )) k k n b x a x k n k k k k k k k k I f x dx f x dx x x f x f x f x f x f x + − = − + + = + + + = = −  + + + +     1 2 k x + 为 1 [ , ] k k x x + 的 中 点 ， 1 4 k x + ， 3 4 k x + 为 1 [ , ] k k x x + 的四分之一分点。 求和展开得：

h (7f(x)+32f(x1)+12f(x1)+32f(x2) 90 +7f(x1)+(7f(x1)+32f(x3)+12f(x2) +32f(x2)+7f(x2)+…+(7f(xn1)+ 32f(xn2)+12f(xn-1)+32f(xn1)+7(xn) 90 (7f(a)+14∑f(xk)+32∑f(x+) k=0 +12∑f(xk+)+32∑f(xk+:)+7f(b) k=0 b-a 其中:h 例1:对∫(x) 利用下表所给数据,利用复 1+x 化梯形公式和复化辛甫生公式计算Ⅰ=f(x的 值 f∫(x) 4/83.200000 0 4000005/82.8764045 1/83.93846156/82.560000 2/83.76470597/82.2654867

1 1 3 4 2 4 5 3 4 2 7 4 3 1 1 4 2 4 0 1 1 2 1 (7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 90 7 ( )) (7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )) (7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( ))) n n n n n n h C f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x − − − − = + + + + + + + + + + + + + + + 1 4 1 3 2 4 1 1 1 0 1 1 0 0 (7 ( ) 14 ( ) 32 ( ) 90 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )) n n k k k k n n k k k k h f a f x f x f x f x f b − − + = = − − + + = = = + + + + +     其中： n b a h − = 。 例 1： 对 2 1 4 ( ) x f x + = 利用下表所给数据，利用复 化梯形公式和复化辛甫生公式计算 I f x dx  = 1 0 ( ) 的 值。 x f (x) 4/8 3.2000000 0 4.0000000 5/8 2.8764045 1/8 3.9384615 6/8 2.5600000 2/8 3.7647059 7/8 2.2654867

3/83.50684938/82.000000 解:①用复化梯形公式计算 取n=8,h=。,则 =2((a)+2∑f(x)+f(b) 1601+28)+f() 3.1389885 ②用复化辛甫生公式计算 取n=4h=元,则: 2=((a)+4∑f(x+)+2∑f(xk)+f(b) k=0 24 (f(0)+4∑f(。)+2∑f(。)+f(1) k=0 3.1415925 而准确值:Ⅰ=4rcan0=丌=3l415905 例2:用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分

3/8 3.5068493 8/8 2.0000000 解：① 用复化梯形公式计算 取 8 1 n = 8,h = ，则： 3.1389885 ) (1)) 8 ( (0) 2 ( 16 1 ( ( ) 2 ( ) ( )) 2 7 1 1 1 8 = = + + = + +   = − = f k f f f a f x f b h T k n k k ② 用复化辛甫生公式计算 取 4 1 n = 4,h = ，则： 1 2 1 1 2 0 1 3 3 0 1 ( ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )) 6 1 2 1 2 ( (0) 4 ( ) 2 ( ) (1)) 24 8 8 3.1415925 n n k k k k k k h S f a f x f x f b k k f f f f − − + = = = = = + + + + = + + + =     而准确值： I = 4arctan | 1 0 =  = 3.1415905 例 2：用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分

2.6 I=。f(x),函数f(x)在某些节点上的值如下 J18 图 2.0 2.2 2.4 2.6 f(x)3.120144.425696.0424118.0301410.46675 解: ①用复化梯形公式计算 2.6-1.8 取n=4,h 0.2 4 (f(a)+2∑f(xk)+f(b) k=1 0.2 (f(1.8)+2(f(2.0)+f(2.2)+f(24))+f(26) 5.058337 用复化辛甫生公式计算 2.6-1.8 n=2.h= =0.4 S2==(f(a)+4∑f(x+)+2∑f(xk)+f(b) 0.4 f(1.8)+4[f(2.0)+f(24)]+2f(2.2)+f(26 =5033002

 = 2.6 1.8 I f (x)dx ，函数 f (x) 在某些节点上的值如下 图： x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 f (x) 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675 解： ① 用复化梯形公式计算 取 2.6 1.8 4, 0.2 4 n h − = = = 1 4 1 ( ( ) 2 ( ) ( )) 2 0.2 ( (1.8) 2( (2.0) (2.2) (2.4)) (2.6)) 2 5.058337 n k k h T f a f x f b f f f f f − = = + + = + + + + =  ② 用复化辛甫生公式计算 2.6 1.8 2, 0.4 2 n h − = = = 1 2 1 1 2 0 1 ( ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )) 6 0.4{ (1.8) 4[ (2.0) (2.4)] 2 (2.2) (2.6)} 6 5.033002 n n k k k k h S f a f x f x f b f f f f f − − + = = = + + + = + + + + =  