复旦大学：《Matlab Math》（双语版）CHAPTER 9 PDE Model

Matlab Math 偏微分方程 Cleve morler著 陈文斌(wbchen@fudan.edu.cn) 复旦大学2002

Matlab Math Cleve Morler著 陈文斌（wbchen@fudan.edu.cn) 复旦大学2002 偏微分方程

PDE Model Laplacian算子: 2 △ Poisson方程( elliptic) 边值问题 △L= laplacian算子的特征值问题:△+n=f Heat equation(parabolic) 0L△L at 初边值问题 Wave equation(hyperbolic)

PDE Model 2 2 2 2 x y       Laplacian 算子： Poisson方程（elliptic）： u  f Laplacian 算子的特征值问题: u  u  f Heat equation(parabolic): u t u     Wave equation(hyperbolic): u t u     2 2 初边值问题 边值问题

Finete difference methods 五点离散 △ u(x+hy)-2u(x, y)+u(x-h,y) h (x, y+h)-2u(x, y)+(x, y-h h △u(P) )+(W)+u(E)+l(S)-4(P h △l(P)=0 Poisson方程离散:△l(P)=f(P) 特征值问题 △(P)=A1u4(P)

Finete Difference Methods 五点离散 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) h u x y h u x y u x y h h u x h y u x y u x h y u x y h            2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) h u N u W u E u S u P hu P        u(P)  0 h u(P) f (P) h  u(P) u (P)  h  k k Poisson方程离散： 特征值问题:

Finete difference methods 热方程: (x ,y, t+8)u(x,y, t) △nl(x,y) u(r,y, t+S=u(x,y, t)+SAnu(x, y) 波动方程: u(,y, t+8)-2u(x, y, t)+u(x,y, t-8) u(r,y) u(x, y, t+d)=2u(x, y, t-u(x, y,t-8)+8 SAhu(x, y) Explicit(显格式)

Finete Difference Methods ( , ) ( , , ) ( , , ) u x y u x y t u x y t  h     u(x, y,t ) u(x, y,t) u(x, y)     h ( , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) 2 u x y u x y t u x y t u x y t  h        ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , ) 2 u x y t u x y t u x y t u x y        h Explicit(显格式） 热方程： 波动方程：

Matrix Representation 15 1718 282930313233 45 2 h2△,l(24)=l(15)+l(23)+(25)+(33)-4(24)

0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 Matrix Representation (24) (15) (23) (25) (33) 4 (24) 2 h hu  u  u  u  u  u

Matrix Representation 0 0 00 0 0 0 411000000 000 000 0 0 0 001 000 0 01000000000000 041100000000000 000001 4010000000000 0 00 00000 000000000 00 00000 00000000 000 000000 00 00 40100000000 000000000 410000000 00004 000 00 00000000 000000 00000 400000 000 00014 0000000000100014 000 100 0

-4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 Matrix Representation

离散方程 h△,<A 椭圆方程: Au=6 b=h'f(x,y) 特征值方程: Au= h u 热方程: (n+1) =u+ gau h 波动方程:)=2n0)-n1m)+a4n/)a=/d)2 (n+1) (n)

离散方程 椭圆方程： Au  b 特征值方程： Au u h    2 1 ( , ) 2 b  h f x y 热方程： (n 1) (n) (n) u  u Au  2 h    波动方程： ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 n n n n u  u  u Au   2        h   (n 1) (n) u  Mu 

Numerical Stability 热方程:(+=M(m)M=I+A 观察一下M:对角线?其他的地方?行和为? dissipative 如果M单元的元素是非负的,那么递推过程是稳定的 stability condition(稳定性条件)1-4a≥0 步长的限制 h24 波动方程: h)-2

Numerical Stability (n 1) (n) u  Mu  热方程： M  I A 观察一下M: 对角线？其他的地方？行和为？ 如果M单元的元素是非负的，那么递推过程是稳定的 dissipative stability condition(稳定性条件) 4 1 2   h   1 4  0 波动方程： 2 1 2         h   步长的限制

PDEGUI Square ◇◇◇◇◇ Curved L 0.E Disc Annulus Heart Butterfly 02×8 Q◆9 Poisson 04◇◇ Eigenvalue 88 4024 △△△ Weve grid size= 32 sIgma=000± 0.8 stop oOv -10806040200.204060.8 close

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