临沂大学（临沂师范学院）：《数学分析》课程教学资源（讲义）第十五章 傅里叶级数

第十五章傅里叶级数 第十五章傅里叶级数 §1傅里叶级数 1.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数 (1)f(x)=x(1)-π<x<r,(‖)0<x<2π (2)f(x)=x2(i)-π<x<r,(i)0<x<2π; (3)(x)=a,-x<x≤0 (a≠b,a≠0,b≠0) bx,0<x<丌 解(1)(i)函数∫及其周期延 拓后的图像如图15-1所示,显然∫ 是按段光滑,故由收敛定理知它可以 展开成傅里叶级数 1(f( 图15-1 当n≥1时,有 nr winnt I (x)sinnrdx sinned

沿1傅里叶级数 z'cosnr I TJaSnrdr 2,当n为偶数时, ,当n为奇数时 所以在区间(-丌,x)上 f(x)=2∑(-1)n+1 (i)函数∫及其周期延 拓后的图像如图15-2所 示,显然∫是按段光滑的,故 收敛定理知它可以展开成 傅里叶级数 2丌 图15-2 当n≥1时 sinn.T: 3-1 sinner=0 工 sinnar 2 工 COsnT nAmO 所以在区间(0,2x)上 f(x)=x-2∑ (2)(1)函数∫及其周期延拓后的图像如图15-3所示,显然f是 按段光滑的,故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数 由于

第十五章累叶改 当n≥1时 a=x22=mx21-2∫ CsIn ,当n为偶数时, 2,当n为奇数时 r2sinnrdx F 3X OSnr 2 图15-3 rcosnrdx=0 所以在区间(-丌,)上, (-1) (i)函数∫及其周期延 拓后的图像如图15-4所示 显然∫是按段光滑的,故由收 敛定理,它可以展开成傅里叶 级数 由于 6r x a0= 1[2x2dx=3 图15-4 4兀(n= 所以以区间(0,2x)上 f(x)=3x+4∑(nx- AsinInE (3)函数∫及其延拓后的函数是按段光滑的,因而可以展开成傅里

1傅里叶级数 叶级数由于 l'(e)dx lf ardr+ badr]=ba1 arcosnzdr +l brsinnzdx ]=92[l hn≈1r r sinned sinned (-1)n+( 所以在区间(-x,x)上 f(x)=4 2.设f是以2x为周期的可积函数,证明对任何实c,有 an=f(r)cosnrdcs 1f(a)cosner,n=0,1 f(a)sinned=1 fo 证由定积分性质知 1f(r)cond lr f (z)oosnzdx+f()cosnrdx x]/ a)oosnzdx] 对于积分(x)作变量代换:t=x+2兀,由于f以2x为 周期,所以 t-2x)dt f(x).r f(t-2r)cosn( c+2丌 f(r)oosntdt 将此结果代人上式,得 lf(r)oosnuidt=l f()oosnrdr =an (n=0, 1, 2

第十五章傅里叶级数 同理可证得第二个等式 3.把函数f(x)=4,x<x<0 ,0≤x<丌 展开成傅里叶级数,并由它推出 (2)3=1+3-}-++ (3) 8x=1-}+ 解函数∫及其延拓 后的图像如图15-5所示, 显然是按段光滑的,因而它 可以展开成傅里叶级数 由于 f(r)dx 图15-5 dr =o f(c) 1J(-7)o+:ona=0 sINn (-)sinned t w Jo 4sinnrdx

§1傅里叶级数 ,当n为奇数时 0,当n为偶数时 所以当x∈(-丌,0)∪(0,π)时, f(r)=> sin(2n-1)r 当x=0时,上式右端收敛于0; 当x=时,由于f(2)=4,所以 又因为 耳=1-3+3-号+ =(1+ I1i3+17+…) 15 =(1+3-号-是++1+…) +(3)(1-3+3- =(1+3-1-}++1+…)-3·4 3=1+111+1++ 所以 当x=3时由于f(3)=4,所以 =3(1-1+1-1+1-1+…) 因此3 4.设函数f(x)满足条件:f(x+π)=-f(x),问此函数在( 丌)内的傅里叶级数具有什么特性? 解由于 365

第十五章傅里叶级数 f(x)oosnzdz [-f(r+x)cos f(c)conda 在上式右端第一个积分中令x+=y,则得 an=[-"r(y)osn(y-m)dy+/()cond) 1[(-1)m+1+1]f(x)sndz 于是,得a2n=0(n=0,1,2,…).同理,可得b2n=0(n=1,2,…).因 此,函数f(x)在(-r,π)内的傅里叶级数的特性为 5.设函数∫(x)满足条件:f(x+r)=f(x)问此函数在(-r 丌)内的傅里叶级数具有什么特性? 解与上题类似,我们可求得 a=1(-1)+1(2)an=0,12,…) 因此有a2x-1=0(n=1,2,…) 同理,可求得b2n-1=0(n=1,2,…) 即函数f(x)在(-r,n)内的傅里叶级数的特性为 a2n-1=b2n-1=0(n=1,2,…) 6.试证函数系a8nx,n=0,1,2,…和 sinn,n=1,2,…都是 [0,]上的正交函数系,但它们合起来的(5)式不是[0,r]上的正交函 数系 证对于函数 cost(n=0,1,2,…)因为 cosnrdz=0 cosmrcosnrdx=b[cos(m n)x+ os(m-n)x]dr=0 其中m≠n

§1得里叶级数 " andr=3(ax2nr+1) dz=r(n+0) 所以,在三角函数系csnx(n=0,1,2,…)中,任何两个不相同的 函数的乘积在[0,r]上的积分都等于零而任何一个函数的平方在[0 r]上的积分都不等于零因此,函数系csx,(n=0,1,2,…)是[0,r 上的正交函数系;同理,函数系 sInn(n=1,2,…)也是[0,r]上的正 交函数系 对于函数系1.cx,sinx,oos2x,sin2x,… COSn.Z, SInTEr, 由于 cs2rsinrdx= Lsin3]dr [-cos3x + oosr] ≠0 所以,这个函数系不是[0,x]上的正交函数系 7.求下列函数系的傅里叶级数展开式: (1)f(x)=x2,0<x<2r; (2)f(x)=√1-x,-r≤x≤r; (3)f(x)=ax2+bx+c,(i)0<x<2x,(ⅱ)-r<x<r; (4)f(r)=chx,-<x<x (5)∫(x)=shx,-x<x<r 解(1)由f(x)=x2(0<x<2x)知 兀二王 2n sinnar =o bn=x」o2-sndx

第十五章傅里叶级数 2n CSlT enJo 所以在区间(0,2x)上,x=∑在 (2)f(x)=1-cx(-≤x≤r) 因为在区间[-r,r]上 ≤x<0 f(x)=√1-∞sx=√2sm25= ,0≤ 所以 f(cda oin t dr]=4v2 f(r)cosmo condr+ sin cosnzd] 在上式右端第一个积分中,令x=-y,则 T J sin(- y )oos(-ny)dy+ sin cosndr 2 v2 sin cosner=2. Isin(n +2 )I+ sin(2 n)xld (4n2-1) r f(r)sinnrdr 2门c2+m 在上式右端第一个积分中,令x ,则

1傅里叶级数 sin(-y)sin(-ny)d nnrdx= 0 因此,在区间(-x,π)上 √1-∞x=x 22_42Snx 当x=±π时,上式右端收敛于 f(r-0)+(x+0)√2+√2 2=f(±π) 所以,在区间[-x,π1上 2√24√2 ASn cosT (3)f(x)=ar+ br+c (ax2+ bx +c)dx 3 T 2bT + 2c 1(ax br t c)cos a r conde t rcosnxdx t oNair (ax2+ bx+c)sinnar = 因此,在区间(0,2x)上 r2+b+c+∑(42csnx innr () 0=x,(ax2+bx+c)d=1(E+ )|x are 2