东北大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 谓词逻辑

第二章谓词逻辑 问题的提出:(即命题還辑的局跟性) 在第一章,一个原子命题只用一个字母表示, 而不再对命题中的句子成分细分。这样有一些逻 辑问题无法解决。请看下面的例子 例1.令P:小张是大学生 Q:小李是大学生 从符号P、Q中不能归纳出他们都是大学生的共 性。我们希望从所使用的符号那里带给我们更多 的信息,比如可以看出他们的共性。这种想法在 第一章是无法实现的

第二章 谓词逻辑 问题的提出：(即命题逻辑的局限性) 在第一章, 一个原子命题只用一个字母表示， 而不再对命题中的句子成分细分。这样有一些逻 辑问题无法解决。请看下面的例子。 例1.令Ｐ：小张是大学生。 Ｑ：小李是大学生。 从符号Ｐ、Ｑ中不能归纳出他们都是大学生的共 性。我们希望从所使用的符号那里带给我们更多 的信息，比如可以看出他们的共性。这种想法在 第一章是无法实现的

例2.令A:所有自然数都是整数 B:8是自然数。 C:8是整数 这是著名的三段论推理,A是大前提,B是小前提, C是结论。显然,由A和B可以推出结论C。这 个推理是有效的,但是这个推理在第一章也是无 法实现的 分析:命题P与Q中的谓语是相同的(是大学生), 只是主语不同。命题A、B、C之间在主语谓语 方面也是有联系的,靠这种联系才能由A、B推 出C。而从这三个符号上看不出此种联系。 所以就要另外考虑表示命题的方法

例2.令 Ａ：所有自然数都是整数。 Ｂ：８是自然数。 Ｃ：８是整数。 这是著名的三段论推理，A是大前提，B是小前提， C是结论。显然，由Ａ和Ｂ可以推出结论Ｃ。这 个推理是有效的，但是这个推理在第一章也是无 法实现的。 分析：命题Ｐ与Ｑ中的谓语是相同的(是大学生), 只是主语不同。命题Ａ、Ｂ、Ｃ之间在主语谓语 方面也是有联系的，靠这种联系才能由Ａ、Ｂ推 出Ｃ。而从这三个符号上看不出此种联系。 所以就要另外考虑表示命题的方法

解决这个问题的方法 在表示命题时,既表示出主语,也表示出谓语, 就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。 令S(x)表示x是大学生,a:小张,b:小李 命题P表示成S(a):小张是大学生。 命题Q表示成S(b):小李是大学生 从符号S(a)、S(b)可看出小张和小李都是大学生的共性 令N(x):x是自然数。I(x):x是整数。 表示所有的。 推理如此实现: A:Vx(N(x)→I(x)) N(8)→I(8) B:N(8) N(8) C:I(8) →I(8) 符号S(x)、N(x)、I(x)就是所谓的谓词

解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示出谓语， 就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。 令S(x)表示x是大学生，a:小张，b:小李 命题P表示成S(a):小张是大学生。 命题Q表示成S(b):小李是大学生。 从符号S(a)、S(b)可看出小张和小李都是大学生的共性. 令N(x):x是自然数。I(x):x是整数。 表示所有的。 A: x(N(x)→I(x)) B :N(8) C :I(8) N(8)→I(8) N(8)  I(8) 符号 S(x)、N(x)、I(x)就是所谓的谓词。 推理如此实现：

2-1基本概念 2-1.1客体与客体变元 ·定义:能够独立存在的事物,称之为客体,也 称之为个体。它可以是具体的,也可以是抽象的 事物。通常用小写英文字母a、b、c、.表示。 例如,小张、小李、8、a、沈阳、社会主义等等 都是客体。 定义:用小写英文字母x、y、z..表示任何客 体,则称这些字母为客体变元。 注意:客体变元本身不是客体

2-1 基本概念 2-1.1 客体与客体变元 • 定义：能够独立存在的事物，称之为客体，也 称之为个体。它可以是具体的，也可以是抽象的 事物。通常用小写英文字母a、b、c、...表示。 例如，小张、小李、8、a、沈阳、社会主义等等 都是客体。 • 定义：用小写英文字母x、y、z...表示任何客 体，则称这些字母为客体变元。 • 注意：客体变元本身不是客体

2-1.2谓词 定义:一个大写英文字母后边有括号,括号内 是若干个客体变元,用以表示客体的属性或者 客体之间的关系,称之为谓词。如果括号内有 n个客体变元,称该谓词为n元谓词 例如 S(x):表示x是大学生。 一元谓词 G(x,y):表示x>y 二元谓词 B(x,y,z):表示x在y与z之间。三元谓词 般地 P(xI, X 是n元谓词

2-1.2 谓词 • 定义：一个大写英文字母后边有括号，括号内 是若干个客体变元，用以表示客体的属性或者 客体之间的关系，称之为谓词。如果括号内有 n个客体变元，称该谓词为n元谓词。 • 例如 S(x):表示x是大学生。 一元谓词 G(x,y)：表示 x>y。 二元谓词 B(x,y,z)：表示x在y与z之间。三元谓词 一般地 P(x1,x2,…,xn) 是n元谓词

2-1.3命题的数 谓词本身并不是命题,只有谓词的括号内填入 足够的客体,才变成命题 例如, a表示小张,b表示小李,则 S(a):小张是大学生。 S(b):小李是大学生 G(7,3)表示:7>3。 如果c表示锦州,d表示沈阳,e表示山海关,则 B(c,d,e)表示:锦州在沈阳与山海关之间。 这时S(a)、S()、G(7,3)、B(c,d,e)才是命题

2-1.3 命题函数 • 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入 足够的客体，才变成命题。 • 例如， a表示小张，b表示小李，则 S(a):小张是大学生。 S(b):小李是大学生。 Ｇ(7,3)表示:７>３。 如果c表示锦州，d表示沈阳，e表示山海关，则 B(c,d,e)表示：锦州在沈阳与山海关之间。 这时S(a)、S(b)、G(7,3)、B(c,d,e)才是命题

令谓词S(x):x是大学生,括号内填入不同的人名, 就得到不同的命题,故谓词S(x)相当于一个函数, 称之为命题函数。 定义:n元谓词P(x1,x2,…,xn)称之为简单命题函数。 规定:当命题函数P(x1,x2,…,xn)中n=0时,即0 元谓词,表示不含有客体变元的谓词,它本身就是 命题变元。 定义:将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起 来,构成的表达式,称之为复合命题函数。简单命 题函数与复合命题函数统称为命题函数

令谓词S(x):x是大学生，括号内填入不同的人名， 就得到不同的命题，故谓词S(x)相当于一个函数， 称之为命题函数。 定义：n元谓词P(x1,x2,…,xn)称之为简单命题函数。 规定：当命题函数P(x1,x2,…,xn)中 n=0 时，即0 元谓词，表示不含有客体变元的谓词，它本身就是 一个命题变元。 定义：将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起 来，构成的表达式，称之为复合命题函数。简单命 题函数与复合命题函数统称为命题函数

·例如 给定简单命题函数: A(x):x身体好, B(x):x学习好 C(x):x工作好, 复合命题函数_A(x)→(-B(x)∧-C(x) 表示如果x身体不好,则x的学习与工作 都不会好

• 例如 • 给定简单命题函数： A(x)：x身体好， B(x)：x学习好， C(x)：x工作好， • 复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作 都不会好

2-1.4论域(个体域) °定义:在命题函数中客体变元的取值范 围,称之为论域,也称之为个体域。 例如S(x):x是大学生,论域是:人类 G(x,y):x>y,论域是:实数。 论域是一个集合。 °定义:由所有客体构成的论域,称之为 全总个体域。它是个“最大”的论域 约定:对于一个命题函数,如果没有给定 论域,则假定该论域是全总个体域

2-1.4 论域(个体域) • 定义：在命题函数中客体变元的取值范 围，称之为论域，也称之为个体域。 例如 S(x):x是大学生，论域是:人类。 G(x,y)：x>y， 论域是:实数。 论域是一个集合。 • 定义：由所有客体构成的论域，称之为 全总个体域。它是个“最大”的论域。 • 约定:对于一个命题函数，如果没有给定 论域，则假定该论域是全总个体域

2-1.5量词 例如:有些人是大学生。 所有事物都是发展变化的。 有些”,“所有的”,就是对客体量化的词 定义:在命题中表示对客体数量化的词,称之 为量词 定义了两种量词 (1).存在量词:记作彐,表示“有些”、“ “某些”、“至少一个”等。 (2).全称量词:记作V,表示“每个”、“任 何 个”、“一切”、“所有的”、“凡是

2-1.5 量词 • 例如：有些人是大学生。 所有事物都是发展变化的。 “有些” , “所有的” ,就是对客体量化的词。 • 定义：在命题中表示对客体数量化的词，称之 为量词。 • 定义了两种量词： (1).存在量词：记作，表示“有些” 、 “一 些” 、 “某些” 、 “至少一个”等。 (2).全称量词：记作，表示“每个” 、 “任 何 一个” 、 “一切” 、 “所有的”、“凡是”、 “任意