《量子力学》课程教学资源（学习资料）氢原子问题补充材料

氢原子问题补充材料 1.连带 Lagurre多项式及其母函数 Schrodinger在他的关于波动力学的第三篇文章( Ann. d. Phys.8048511926)中给出了连带 exp- agre多项式L(p)的母函数为(-1) L() )式左端即为L}(p)的母函数记为U(,)=(-1)3 (2 母函数U(p,)在计算归一化因子时有用 至于U(p,)的表达式(2)如何得来可以参考王竹溪和郭敦仁的特殊函数概论第六章 注1连带Lgme多项式的级数定义为L()=∑-) k)(s+k 另外我们有:E()=2L()( 即E()是r次 Lagurre多项式L(p)的第S阶导数称为r-S次S阶连带 Lagurre多项式 还可以看出,当S=21+1r=n+l时的()即出现在氢原子径向波函数中 注2:关于连带 Lagurre多项式以及 Lagurre多项式的性质,可以参考 L Pauling, E B Wilson的 Introduction to Quantum Mechanics: with applications to chemistry, Chap 5 注3合流超几何函数与连带Lme多项式的关系为L()=S+)(rs+L,)( 2.径向波函数及其归一化 氢原子总波函数v.o)=R()xn(.0)=2)y(0.o)() 取 hhr=22r,其中用到了B=3222 hasn 则R()=2n=n()=2k2=n"e;()=Nne5n=()() (这里已将a吸收到归一化因子Nn中去) 1=hlw(,0,o)(r,0,o)sin edodedr=[R(]rdr

2--1 氢原子问题补充材料 1. 连带 Lagurre 多项式及其母函数 Schro dinger 在他的关于波动力学的第三篇文章(Ann.d.Phys. 80 4851,1926)中给出了连带 Lagurre 多项式 () S Lr 的母函数为: ( ) S −1 ( ) 1 1 1 exp + −       − − S u u u S u  ( )   r=S S r r L !  r u (1) (1) 式左端即为 () S Lr 的母函数,记为 U ( u) S ,  ( ) S −1 ( ) 1 1 1 exp + −       − − S u u u S u (2) 母函数 U ( u) S , 在计算归一化因子时有用. 至于 U ( u) S , 的表达式 (2) 如何得来,可以参考王竹溪和郭敦仁的特殊函数概论,第六章. 注 1:连带 Lagurre 多项式的级数定义为 () S Lr  ( ) ( ) ( ) ( )  − = + − − + − r S k k k k r S k S k r 0 2 1 ! ! ! ! 1  (3) 另外我们有: ( ) ()   S r S S r L d d L = (4) 即 () S Lr 是 r 次 Lagurre 多项式 () Lr 的第 S 阶导数,称为 r − S 次 S 阶连带 Lagurre 多项式. 还可以看出,当 S = 2l +1,r = n + l 时的 () S Lr 即出现在氢原子径向波函数中. 注 2:关于连带 Lagurre 多项式以及 Lagurre 多项式的性质,可以参考 L.Pauling, E.B.Wilson 的 Introduction to Quantum Mechanics: with applications to chemistry, Chap 5. 注 3:合流超几何函数与连带 Lagurre 多项式的关系为: ( ) ( )  ( , 1, ) ! ! ! − + +  F r S r S S r L S r (5) 2. 径向波函数及其归一化 氢原子总波函数 (r,,) = R (r) nl (,) Ylm = ( ) r  r (,) Ylm (6) 取  = r E 2 8   =r = r n Ze 2 2 2   = r na 2Z , 其中用到了 n Ze = =    2 2 2  , 2 2 e a   = . 则 R (r) nl = ( ) r r  nl = () unl r 1 =  ()    2 1 2 +1 + + − l n l l ke L =  ()  2 2 +1 + − l n l l Nnle L (7) (这里已将  吸收到归一化因子 Nnl 中去.) (r ) (r )r d d dr R (r) r dr o nl 2 2 2 0 0 2 0 1 , , , , sin         =          =  

(N e"pp2#()p2dp(8) 下面证明〔"pp=oh=2( 明取U()=E(m少2y (0) Vse, v) (-1) t! 「"pU、ap(mn=∑∑!e"p“Ex(2) 另一方面[epU,(2)y(n (1-)(1-) n)(-0=(+)=(0-n=+nXs+)∑6+k+!{m)y(a 上式最后一步利用了c展开(-m)3=(y+2△上my4 我们是要求解形如∫cp“[()4p的积分,故令(2)式中的1=厂并注意到此时无穷 级数展开(2)和(13)的最低次幂均为S,可以比较它们幂次相等的项的系数易知 (H pO)b=(s+)( r(2r-S+1) S)S+1)(-S-1)(S+1)(-S) 令=2+1=n+得式)(式例甲得A240+0 所以R()=J2z 1(2V(22\r1

2--2 ( )   ()     e L d N l n l nl l 2 2 2 2 1 0 3 2 + +  −  = (8) 下面证明   ()   e L d l n l l 2 2 2 2 1 0 + + +  −  = ( ) ( 1)! 2 ! 3 − − + n l n n l (9) 证明:取 U ( u) S ,  ( )   r=S S r r L !  r u  ( ) S −1 ( ) 1 1 1 exp + −       − − S u u u S u (10) V ( v) S ,  ( )   t=S S t t L !  t v  ( ) S −1 ( ) 1 1 1 exp + −       − − S v v v S v (11)  ( ) ( )   − + 0 1  , ,   e US u VS v d S =  () ()   e L L d r t u v S t S r S r S t S r t 1 0 ! ! +  =  =  −   (12) 另一方面, ( ) ( )   − + 0 1  , ,   e US u VS v d S ( ) ( ) ( )    e d u v uv v S v u u S S S   +       − + − − + + + − − = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( )( ) ( ) ( 2) 1 1 1 exp 1 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1  + − − −  − =      − + − + − − = + +  − + + +  S uv uv u v ww dw v v u u u v uv S S S S S S S = ( ) ( )( ) ( ) ( 1)! 1 1 1 2 + − − − + S uv uv u v S S = (1−u −v +uv)(S +1)! ( ) ( ) ( ) S k k uv k S S k +  =  + + + 0 ! 1 ! 1 ! (13) 上式最后一步利用了 Tailor 展开 ( ) ( 2) 1 − + − S uv = ( ) ( ) ( ) ( ) k k k uv S k S k − + − + + −  −  = ! 1 2 1 ! 2 1 ! 1 0 (14) 我们是要求解形如  ( )   − + 0 2 1     e L d S r S 的积分,故令 (12) 式中的 t = r 并注意到此时无穷 级数展开 (12) 和 (13) 的最低次幂均为 S,可以比较它们幂次相等的项的系数,易知:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! 2 1 1! 1! ! ! 1! 1! 1! ! 1 0 2 1 2 r S r r S r S S r r S S r e L d S r S r S − − + =      − − + + − + +  = +        − +     令 S = 2l +1,r = n + l 即得式 (9),式 (9) 代入式 (8) 即得: ( ) ( ) 3 3 2 ! 1! n n l n l Nnl + − − =  (15) 所以, ( ) ( ) ( )             + − −       = + +       − r na Z r L na Z e n n l n l na Z R r l n l l l r na Z nl 2 2 2 ! 2 1! 2 1 2 2 1 3 3 (16)