《经济数学基础》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量（4.4）克莱姆法则

第四节克莱姆法则 w吧w吧w吧行吧吧好产

第四节 克莱姆法则

用消元法解二元线性方程组 十a 12-2 n2x1+a2x2=b2(2) (1)×a2:a1a2x1+a1l2x2=ba2, (2)x 1 2u21 +a1, 12222 129 两式相减消去x2,得

用消元法解二元线性方程组    + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1) (2) (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 x2，得

(a1{a2-a12a21)x1=ba2-a12b2 类似地,消去x得 (a1a2-a12a2)x2=a1b2-ba21, 当a1a2-a12a21≠0时,方程组的解为 b1a22-a12b2x2= 11 b-b,a u11 11u22 12u21 11 22 12 21 1a12 212 2 22 12 12 2122 21 22

; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 类似地，消去x1，得 , （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12a21  0时， 方程组的解为 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = . 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 21 22 11 12 2 22 1 12 a a a a b a b a = 21 22 11 12 21 2 11 1 a a a a a b a b =

非齐次与齐次线性方程组的概念 aux+a22x2+.+aunxn=b 设线性方程组 21~1 +a2)2+…+a2nxn=b2 LamIn+an2x2 +.+ann=bm 若常数项1,b2,…,b不全为零,则称此方程组为非 齐次线性方程组;若常数项b1,b,…,b全为零 此时称方程组为齐次线性方程组

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念

、克拉默法则 如果线性方程组 1X1+1X+…+1nxn= n b1 11+a2,X+…a,X n Un1℃1十an2,+…十ann= n lI 12 的系数行列式不等于零,即D= 22 2n 0 2

一、克拉默法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 =  0

那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解 可以表为 D D D3 n 1 = 2 3~3 = D D 95叫n D D 其中D是把系数行列式D中第列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 1,j+1 · n D.= b n n,+1 nn

, , , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = =  n = 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1)

证明 用D中第列元素的代数余子式4,4y…,A 依次乘方程组(的n个方程得 (aux, +a, x, ++,x A,=b,A (a,*, +a2 r,+.+a,x)A, =b2 A ●●●非@●t●0●●意●·● n11十a,,X,+…+an =b A n nn n/ n/ 再把n个方程依次相加,得

证明 ( ) ( ) ( )       + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j  Anj 再把 n 个方程依次相加，得

k12 x1+… ∑ x:+∴十 好j kn kj k=1 k=1 k=1 ∑b4 k=1 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D, 而其余x(≠)系数均为;又等式右端为D 于是Dx=D/G=1,2,…,m) 当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解 D2= D D x = D D D

, 1 1 1 1 1 1     = = = = =        + +       + +      n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x  a A x  a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j =  , , , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = =  n = x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i  . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D  0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解

由于方程组(2)与方程组()等价,故 7 D2 D3 n 3 n D D D 也是方程组的(1)解

由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 , , , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = =  n = 也是方程组的 (1) 解

二、重要定理 定理1如果线性方程细系数行列式D≠0, 则(1)一定有解,且解是唯一的. 定理2如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解,则它的系数行列式必为零

二、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D  0, 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1)