《数学分析》多元连续函数

§2多元连续函数 多元函数 定义11.2.1设D是R”上的点集,D到R的映射 D→R, XhZ 称为n元函数,记为z=f(x)。这时,D称为∫的定义域,f(D)= {z∈R|z=f(x),x∈D}称为∫的值域,I={(x,2)∈R|z=f(x),x∈D}称 为f的图象

多元函数 定义 11.2.1 设 D 是 n R 上的点集，D 到 R 的映射 f : D →R， x 6 z 称为 n 元函数，记为 = fz x)( 。这时，D 称为 f 的定义域， f D)( = ∈ R = fzz xx ∈ D}),(|{ 称为 f 的值域，Γ= }),(|),{( 1 R ∈=∈ D + x fzz xx n 称 为 f 的图象。 §2 多元连续函数

例112.1=1 是二元函数,其定义域为 D={(x,y)∈R2|-2+2≤1 函数的图象是一个上半椭球面(见图112.1)。 x y b 图1121

例 11.2.1 2 2 2 2 1 b y a x z −−= 是二元函数，其定义域为 D= ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ),( ≤+∈ 1 22 22 2 by ax yx R ， 函数的图象是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。 z 2 2 2 2 1 b y a x z −−= O y x 图 11.2.1

多元函数的极限 定义112.2设D是R"上的开集,x0=(x,x2…x)∈D为一定 点,z=f(x)是定义在D\{x}上的n元函数,A是一个实数。如果 对于任意给定的ε>0,存在δ>0,使得当x∈O(xn,δ)\{x}时,成 f(x)-Ax0 imf(x1,x2,…,xn)=A x→ xn→x

多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( )∈ 0 0 2 010 ,,, n x " xxx D 为一定 点， = fz x)( 是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得当 ),( ∈O xx 0 δ \ { 0 x }时，成立 x)( Af <− ε ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim →xx f x)( = A , 或 f x)( → A （ 0 → xx ），或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → 21 ),,,(lim 0 0 22 0 11 " "

多元函数的极限 定义112.2设D是R"上的开集,x0=(,x2,…x)∈D为一定 点,z=f(x)是定义在D\{x}上的n元函数,A是一个实数。如果 对于任意给定的ε>0,存在δ>0,使得当x∈O(xn,δ)\{x}时,成 f(x)-Ax0 imf(x1,x2,…,xn)=A x→ xn→x 注在上面的定义中,“x∈O(x,δ)\{x}”也可以用下面的条件 kδ,|x2-x2k8 k<δ,x≠ 替代

注 在上面的定义中，“ ),( 0 ∈O xx δ \ { 0 x }”也可以用下面的条件 ,||,|| 022 011 δ xxxx 0，存在δ > 0，使得当 ),( ∈O xx 0 δ \ { 0 x }时，成立 x)( Af <− ε ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim →xx f x)( = A , 或 f x)( → A （ 0 → xx ），或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → 21 ),,,(lim 0 0 22 0 11 " "

例112.2设f(xy)2=(x+y)sm2),证明 x +y limf(x,y)=0。 (x,y)→+(0,0) 证由于 f(x,y)-0F(x+y)sin x+y|≤|x|+|y|, x 所以,对于任意给定的>0,只要取δ=6,那么当|x-0k6y-=0k8 且(x,y)≠(0)时, f(x,y)-0≤|x|+|y|<δ+8 这说明了limf(x,y)=0。 (x,y)-(0,0)

例 11.2.2 设 22 sin)(),( yx y yxyxf + += ，证明 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 。 证 由于 22 sin)(|0),(| yx y yxyxf + +=− ≤ + yx || ≤ + yx |||| ， 所以，对于任意给定的ε > 0，只要取 2ε δ = ，那么当 − < δ yx − |0|,|0| < δ ， 且 yx ≠ )0,0(),( 时， yxf − |0),(| ≤ ε ε ε δδ =+=+<+ 22 yx |||| 。 这说明了 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx

对一元函数而言,只要在x的左、右极限存在且相等,函数在xn 处的极限就存在。而对多元函数来说,根据极限存在的定义,则要求 x以任何方式趋于x时,函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时,函数的极限不同或不存在,那么这个 函数在该点的极限一定不存在

对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，函数在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求 当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个 函数在该点的极限一定不存在

对一元函数而言,只要在x的左、右极限存在且相等,函数在x0 处的极限就存在。而对多元函数来说,根据极限存在的定义,则要求 x以任何方式趋于x时,函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时,函数的极限不同或不存在,那么这个 函数在该点的极限一定不存在。 例11.2.3设f(x,y)= x+2,(x,y)≠(0,0)。 当点x=(x,y)沿x轴和y轴趋于(00)时,f(x,y)的极限都是0。但 当点x=(x,y)沿直线y=m趋于(00)时, lim f(x, y)=lim- mr? x→0 x→0x2+m2x21+m 对于不同的m有不同的极限值。这说明f(x,y)在点00)的极限不存在

例 11.2.3 设 )0,0(),(,),( 22 ≠ + = yx yx xy yxf 。 当点 x = yx ),( 沿 x 轴和 y 轴趋于 )0,0( 时， yxf ),( 的极限都是 0。但 当点 x = yx ),( 沿直线 y = mx 趋于 )0,0( 时， 222 2 2 0 0 1 lim),(lim mm xmx mx yxf x mxy x + = + = → = → ， 对于不同的m有不同的极限值。这说明 yxf ),( 在点 )0,0( 的极限不存在。 对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，函数在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求 当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个 函数在该点的极限一定不存在

下例说明即使点x沿任意直线趋于x时,f(x,y)的极限都存在且 相等,仍无法保证函数f在x处有极限。 例11.2.4设f(x,y) 2,(x,y)≠(0.0) y:+x 点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(00)时,成立 (m'x-x lim f(r, v)=lim-44+x y=mx 当点x=(x,y)沿y轴趋于(0,0)时,也成立lmnf(x,y)=1,因此当点x=(x, 沿任何直线趋于(00)时,f(x,y)极限存在且相等。 但f(x,y)在点(00)的极限不存在。事实上,∫在抛物线y2=x上的 值为0,因此当点x=(x,y)沿这条抛物线趋于(0,0)时,它的极限为0

下例说明即使点 x 沿任意直线趋于 x0 时， yxf ),( 的极限都存在且 相等，仍无法保证函数 f 在 x0处有极限。 例 11.2.4 设 )0,0(),(, )( ),( 24 22 ≠ +− = yx xy xy yxf 。 当点 x = yx ),( 沿直线 y = mx 趋于 )0,0( 时, 成立 1 )( lim),(lim 244 222 0 0 = +− = → = → xxm xxm yxf x mxy x ； 当点 x = yx ),( 沿 y 轴趋于 )0,0( 时，也成立 1),(lim 0 0 = = → yxf x y ，因此当点 x = yx ),( 沿任何直线趋于 )0,0( 时， yxf ),( 极限存在且相等。 但 yxf ),( 在点 )0,0( 的极限不存在。事实上， f 在抛物线 = xy 2 上的 值为 0，因此当点 x = yx ),( 沿这条抛物线趋于 )0,0( 时，它的极限为 0

元函数的极限性质,如唯一性、局部有界性、局部保序性 局部夹逼性及极限的四则运算法则,对二元函数依然成立,这里不 再细述,请读者自行加以证明

一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明

元函数的极限性质,如唯一性、局部有界性、局部保序性 局部夹逼性及极限的四则运算法则,对二元函数依然成立,这里不 再细述,请读者自行加以证明。 累次极限 对重极限imf(x,y)(即imf(x,y),人们很自然会想到的是, (x,y)-(x0,y0) x→>x0 y→yo 能否在一定条件下将重极限(x,y)→(x0,y)分解成为两个独立的极限 x→x和y→y,再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之? 这后一种极限称为累次极限

累次极限 对重极限 ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx （即 ),(lim 0 0 yxf yy xx → → ），人们很自然会想到的是， 能否在一定条件下将重极限 yx ),( ),( 00 → yx 分解成为两个独立的极限 0 → xx 和 0 → yy ，再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？ 这后一种极限称为累次极限。 一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明