复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（习题与解答）试卷一（试卷）

复旦大学物理系 2008~2009学年第一学期期末考试试卷 口A卷 区B卷 课程名称:数学物理方法 课程代码:PHYS13000601 开课院系:物理系 考试形式:闭卷(2010.01.12) 姓名 学号 专业 题号 2 3 4 5 总分 得分 (可能用到的公式列在试卷下一页) 1.简答题: (1)试用行波法求解6(x,t)_0u(x, at Ox,(-∞<x< +∞),u(x,0)=v(x) (2)某函数xn(x)满足以下递推关系,试求zn(x)满足的微分方程 antIn(c)=an+in-1(), [z-nen() (3)试对l=0,2,4求:/P(x)dx (4)均匀细杆长l,侧面绝热,热流强度为φ的热量从左端流入,右端按牛顿冷却 定律与温度为0的环境热交换,试写出定解问题的边界条件。 (5)一均匀细杆长l,竖直放置,杆下端r=0固定,上端x=l压一重物mg,开 始时用手托住重物使杆没有位移,t=0时突然放手,忽略杆自身的重力, 试写出定解条件(不必求解) (6)一无限长均匀空心圆柱,内、外径分别为a和2a。内外表面温度分别保持为 u0和20,试求圆柱内稳定温度分布。 2.截面积为1的均匀细杆长1,x=0端受一与时间无关的拉力F作用,x=1端与 弹性系数为k的弹簧相连,弹簧的另一端固定,并且当细杆无位移时弹簧也处于 自然状态,设杆的初始位移为h(1-x),试写出求解细杆纵振动u(x,t)的定解条 件(不必求解),现令u=+u使得u满足齐次方程和齐次边条,试求U

E￾ŒÆÔnX 2008 ∼ 2009 Æc1ÆÏÏ"ÁÁò A ò × B ò ‘§¶¡µêÆÔn{ ‘§èµPHYS130006.01 m‘XµÔnX Á/ªµ4ò (2010.01.12) 6¶µ ÆÒµ ;’µ KÒ 1 2 3 4 5 o© © £ŒU^úª3Áòe¤ 1. {‰K: (1) Á^1Å{¦) b ∂u(x, t) ∂t = ∂u(x, t) ∂x , (−∞ .^‡" (5) þ![\ l§ç†§\eà x = 0 ½§þà x = l Ø­Ô mg§m ©ž^Ã÷4­Ô¦\vk £§t = 0 žâ,çÑ\g­å§ Áѽ)^‡£Ø7¦)¤" (6) Áþ!%ΧS! »©O a Ú 2a"S L¡§Ý©O± u0 Ú 2u0§Á¦ÎS­½§Ý©Ù" 2. ¡È 1 þ![\ 1§x = 0 àɆžmÃ'.å F Š^§x = 1 à† 5Xê k ƒë§,ཧ¿…[\ࣞ?u g,G§\Щ £ h(1 − x)§ÁѦ)[\pÄ u(x, t) ½)^ ‡£Ø7¦)¤§y- u = v + w¦ w ÷vàg§Úàg>^§Á¦ v"

3.用分离变量法求解定解问题(其中h为常数) (x,t)=a2ux(x,t),(0≤x≤l) (0,t)=0,u(l,t)=0 u(x,0)=h 4.一球心于坐标原点半径为1的薄球壳被z=hh部分的球壳电势为u0cos6,z<h部分的球壳电势为-a,试求球心电势。 其中θ为球坐标系的极角 5.半径为b的圆形薄板,板面绝热,初始温度ω,板边缘保持温度为ω。求板内各 处温度变化 可能用到的公式 (1-2)y-2y+(0+1-1-x2y=0.1x2y+xy+(k2n2-12)y=0→y=J(k) P(x)=1,P(x)=x,P(x)=3(3x2-1),‖xJ(x)y=x(x,2/(xdr=x(x) 2n P+111(2+1)zP(x)-P2-(a) Jn+1(x)=-J(x)-J-1(x) Pi(a)p(a)dr 2(n+m)! T 2l+1(n-m)! 其中:J]=0 (m)+2m+, nT. C na 10 1 a2u Or)fr2 sin 0 80 sin e rasin 2p

3. ^©lCþ{¦)½)¯K£Ù¥ h ~ê¤    ut(x, t) = a 2uxx(x, t), (0 ≤ x ≤ l) ux(0, t) = 0, u(l, t) = 0 u(x, 0) = h  1 − x l  4. ¥%u‹I:Œ» 1 ￾¥Š z = h h Ü©¥Š>³ u0 cos θ§z ³ −u0§Á¦¥%>³" Ù¥ θ ¥‹IX4" 5. Œ» b /￾†§†¡ý9§Ð©§Ý u0§†>±§Ý u1"¦†Sˆ ?§ÝCz" ŒU^úª (1 − x 2 )y 00 − 2xy0 + h l(l + 1) − m2 1 − x 2 i y = 0, x 2 y 00 + xy0 + (k 2x 2 − ν 2 )y = 0 =⇒ y = Jν(kx) =⇒ y = P m l (x) x 2 y 00 + xy0 − (k 2x 2 + ν 2 )y = 0 =⇒ y = Iν(kx) P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 (3x 2 − 1), [xJ1(x)]0 = xJ0(x), Z J0(x)x dx = xJ1(x) Pl+1(x) = 1 l + 1 [(2l + 1)xPl(x) − lPl−1(x)] Jn+1(x) = 2n x Jn(x) − Jn−1(x), Z 1 −1 P m l (x)P m k (x)dx = 2 2l + 1 (n + m)! (n − m)! δlk Z a 0 rJ0 " x (0) n a r # J0 " x (0) m a r # dr = a 2 2 J 2 1 [x (0) n ]δmn, Ù¥µJ0[x (0) n ] = 0 ∇2u = 1 ρ ∂ ∂ρ ρ ∂u ∂ρ + 1 ρ 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 , Z l 0 sin nπx l sin mπx l dx = a 2 δmn ∇2u = 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r  + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ  + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2u ∂φ2