《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十四章 幂级数 §3 复变量的指数函数

* s3复变量的指数函数·欧拉公式设有复数项级数1u+u+..+u,+..其中每一项都是复数u,=a,+ib,（a，b,为实数，为虚数单位,n=1,2,)，则(1)式可写成(2)(a, +ib)+(a, +ib,)+...+(a, +ib,)+....以S表示（1）的前n项部分和，并记R, =Zax,I, -Zbk,k=1k=1前页后页返回

前页 后页 返回 设有复数项级数 1 2 + + + + (1) u u un i u a b n n n = + , n n 其中每一项都是复数 ( a b 为实数, i为 虚数单位, n = 1, 2, ), 则 (1) 式可写成 1 1 2 2 ( i ) ( i ) ( i ) . (2) n n a b a b a b + + + + + + + 以 Sn 表示 (1) 的前 n 项部分和, 并记 = = = =   1 1 , , n n n k n k k k R a I b 返回 ＊§3 复变量的指数函数 ·欧拉公式

则有S, = R,+i In.若 lim R,与 lim I,存在,则称级数(1)收敛,若用A,Bn->00n-o0分别记这两个极限值,则级数(1)的和为A+iB.据此级数(1)收敛的充要条件是：级数Za,与Eb,n=1n=1都收敛级数(1)各项un的模为后页返回前页

前页 后页 返回 则有 i . S R I n n n = + lim lim , (1) , n n n n 若 与 存在 则称级数 收敛 R I → → 若用A, B 分别记这两个极限值, 则级数(1)的和为A+iB. 据此, 级数(1)收敛的充要条件是: 级数 1 1 n n n n a b   = =  与 都收敛. 级数(1)各项 un 的模为

I u., I- a, +b,,n=1,2,..若级数Iu,+|u,|+..+|un, I+..收敛，则称级数(1)绝对收敛.由关系式[ an /≤| un l, / bn /≤| un I, n = 1,2,...可证得：若级数(1)绝对收敛，则级数(1)必收敛设c,(n=1,2,)为复数，z为复变量，则称级数(3)Co +c,z +c,z? +...+c,z" +...为复数项幂级数.若z=z使得级数(3)收敛，则称其后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 | | , 1,2, . u a b n n n n = + = 若级数 1 2 | | | | | | u u u + + + + n 收敛, 则称级数(1)绝对收敛. 由关系式 | | | |, | | | |, 1,2, n n n n a u b u n   = 可证得: 若级数(1)绝对收敛, 则级数(1)必收敛. 设 ( 1,2, ) n c n = 为复数, z为复变量, 则称级数 2 0 1 2 (3) n n c c z c z c z + + + + + 为复数项幂级数. 若 0 z z = 使得级数(3)收敛, 则称其

在点zo收敛.所有使级数(3)收敛的全体复数构成复数项幂级数(3)的收敛域记p= lim/c, l,1-这时和s1实数项幂级数一样可证得：级数(3)对一切满足Iz二的z不仅收敛,而且绝对收敛；对一p切Iz=的 z,级数(3)发散.用R=二表示复数项幂pP后页返回前页

前页 后页 返回 在点z0收敛. 所有使级数(3)收敛的全体复数构成复 数项幂级数(3)的收敛域. 记 lim | | , n n n  c → = 这时和§1实数项幂级数一样可证得: 级数(3)对一 切满足 1 | | , ; z z   的 不仅收敛 而且绝对收敛 对一 1 1 | | , (3) . z z R   切 的 级数 发散 用 表示复数项幂  =

级数(3)的收敛半径(当 p=0时,R=+o0 ;当 p=+8时,R=0),则级数(3)的收敛范围是复平面上的以原原点为中心，R为半径的圆例如级数7(4)1 + z +2!n!由于F=0,lim / c, / = lim Vn!n→n-o故级数(4)的收敛半径R=+0，即(4)在整个复平面后页返回前页

前页 后页 返回 级数(3)的收敛半径(当 ＝0 时, R = + ; 当  = + 原点为中心, R为半径的圆. 例如级数 2 1 , (4) 2! ! n z z z n + + + + + 由于 1 lim | | lim 0 , ! n n n n n c → → n = = 时, R = 0 ), 则级数(3)的收敛范围是复平面上的以原 故级数(4)的收敛半径 R = + , 即(4)在整个复平面

上都是收敛的，当z为实变量x时，(4)的和函数为实变量的指数函数e：因此,我们也把级数(4)的和函数定义为复变量z的指数函数e*，即z2>"(5)e" =1+z +-+一++2!n!用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函数:32n-1e7MZ(6)sinz = z3!5!(2n-1)!后页返回前页

前页 后页 返回 上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实 变量的指数函数 e . 因此, 我们也把级数(4)的和函数, x 定义为复变量z的指数函数 e x , 即 2 e 1 . (5) 2! ! n z z z z n = + + + + + 用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函 数: 3 5 2 1 1 sin ( 1) , (6) 3! 5! (2 1)! n z z z n z z n − − = − + + + − + −

2n24ZZt(7)COSz=(2n)!2!4!它们的收敛域都是整个复平面以iz代替(5)式中的z, 可得(iz)2(iz)"e* =1 + iz ++..:2!n!2s34N7=1-+ Iz+1一+.一2!3！4！5!2314~15N+iz+..十+X3!5!2!4!后页前页返回

前页 后页 返回 2 4 2 cos 1 ( 1) . (7) 2! 4! (2 )! n z z z n z n = − + + + − + 它们的收敛域都是整个复平面. 以iz代替(5)式中的z, 可得 2 i (i ) (i ) e 1 i 2! ! n z z z z n = + + + + + 2 3 4 5 1 i i i 2! 3! 4! 5! z z z z = + − − + + + z 2 4 3 5 1 i . 2! 4! 3! 5! z z z z z     = − + + + − + +        

联系(6)与(7)式,就有ei = cosz +isinz.当z为实变量x时，则得e" = cosx+isinx,-8<x<+8它称为欧拉公式.这个公式给出了（实变量）指数函数与三角函数之间的关系由于任一复数z都可写作r(cos+isinの)(r为z的模即lz=r,=arg为z的辐角),那么由欧拉公式可得复数的指数形式后页返回前页

前页 后页 返回 联系(6)与(7)式, 就有 i e cos isin . z = +z z 当z为实变量 x 时, 则得 i e cos isin , . x = + −    + x x x 它称为欧拉公式. 这个公式给出了(实变量)指数函 数与三角函数之间的关系. 由于任一复数 z 都可写作 r(cos +isin )   (r为z的模, 即 | | , arg z r z = =  为 z 的辐角), 那么由欧拉公式可 得复数的指数形式

z = r(cosO +isinO)= rei°.与实幂级数一样，由级数的乘法运算可得e31+2 = e"e"2.当以z=x+iy代入上式,则有e"=e*+iy = e*e' = e*(cos y +isin y).返回前页后页

前页 后页 返回 i z r r (cos isin ) e .  = + =   与实幂级数一样, 由级数的乘法运算可得 1 2 1 2 e e e . z z z z + = 当以 z x y = + i 代入上式, 则有 i i e =e e e e (cos isin ). z x y x y x y y + = = +