【智能系统】GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制

第13卷第5期 智能系统学报 Vol.13 No.5 2018年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Oct.2018 D0:10.11992/tis.201706066 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180419.1332.004html GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制 付兴建，于士贤 (北京信息科技大学自动化学院，北京100192) 摘要：针对一类不确定系统的跟踪控制，设计了一种将GBF-CMAC(cerebellar model articulation controller with Gauss basis function)与滑模控制相结合的控制系统。利用符号距离和分层结构减少了神经网络所需存储器的 数量，并提出了一种神经网络参数的自适应学习律。将设计的控制器用于含有不确定性和欠驱动结构的高阶 柔性直线结构系统的跟踪控制，并与一般滑模控制和积分滑模控制进行了比较。实验结果表明，所设计的控制 器不仅具有较好的鲁棒性，而且改善了滑模控制存在的抖振问题。同时通过调整神经网络的参数对抖振进行 控制，实现了抖振和跟踪性能之间的最优选择。 关键词：高斯基函数；小脑模型控制器：神经网络；自适应；分层结构；滑模控制；不确定系统：柔性直线系统 中图分类号：TP273 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)05-0791-08 中文引用格式：付兴建，于士贤.GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制1.智能系统学报，2018,13(5)：791-798 英文引用格式：FU Xingjian,YU Shixian.Flexible plant system control based on GBF-CMAC and sliding mode controlfJ.CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(5):791-798. Flexible plant system control based on GBF-CMAC and sliding mode control FU Xingjian,YU Shixian (School of Automation,Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100192,China) Abstract:In this paper,a tracking control method combining cerebellar model articulation controller with Gaussian basis function(GBF-CMAC)and sliding mode control (SMC)for uncertain systems is designed.An adaptive learning algorithm of GBF-CMAC is proposed,in which a signed distance and hierarchical structure are used to reduce the memory capacity needed by the neural network.The designed controller is applied for the tracking control of high-order flexible linear system with uncertainties and under-actuated structures,and it is compared with general SMC and integ- ral sliding mode control (ISMC).The experimental results show that the designed controller has a better robustness and improves the chattering problem of SMC.Moreover,the chattering is controlled by adjusting the parameters of the neur- al network to achieve the optimal choice between chattering and tracking performance. Keywords:Gaussian basis function;CMAC;neural network;adaptive;sliding mode control;hierarchical structure;un- certain system;flexible linear system 随着现代控制系统规模的不断扩大，系统的 不确定系统设计了各种各样的控制系统，并取 机械复杂度和环境复杂度越来越高，整个系统往 得了较好的效果。 往呈现出复杂的非线性和不确定性。不确定性的 滑模控制的基本原理是根据系统当前的状态 存在使得传统控制理论很难或者无法设计出满足 有目的地改变系统的“结构”，使系统按照预定的 性能要求的控制系统。近些年来，很多学者针对 “滑动模态”的状态轨迹运动，故称滑模控制是一 收稿日期：2017-06-19.网络出版日期：2018-04-19 种变结构控制。由于滑模控制具有“不变性”，当 基金项目：国家自然科学基金项目(61573230)】 通信作者：付兴建.E-mail:fuxingjian(@sina.com. 系统处于滑动模态运动状态时，系统动力学行为

DOI: 10.11992/tis.201706066 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180419.1332.004.html GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制 付兴建，于士贤 （北京信息科技大学 自动化学院，北京 100192） 摘 要：针对一类不确定系统的跟踪控制，设计了一种将 GBF-CMAC(cerebellar model articulation controller with Gauss basis function) 与滑模控制相结合的控制系统。利用符号距离和分层结构减少了神经网络所需存储器的 数量，并提出了一种神经网络参数的自适应学习律。将设计的控制器用于含有不确定性和欠驱动结构的高阶 柔性直线结构系统的跟踪控制，并与一般滑模控制和积分滑模控制进行了比较。实验结果表明，所设计的控制 器不仅具有较好的鲁棒性，而且改善了滑模控制存在的抖振问题。同时通过调整神经网络的参数对抖振进行 控制，实现了抖振和跟踪性能之间的最优选择。 关键词：高斯基函数；小脑模型控制器；神经网络；自适应；分层结构；滑模控制；不确定系统；柔性直线系统 中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)05−0791−08 中文引用格式：付兴建, 于士贤. GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制[J]. 智能系统学报, 2018, 13(5): 791–798. 英文引用格式：FU Xingjian, YU Shixian. Flexible plant system control based on GBF-CMAC and sliding mode control[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(5): 791–798. Flexible plant system control based on GBF-CMAC and sliding mode control FU Xingjian，YU Shixian (School of Automation, Beijing Information Science and Technology University, Beijing 100192, China) Abstract: In this paper, a tracking control method combining cerebellar model articulation controller with Gaussian basis function (GBF-CMAC) and sliding mode control (SMC) for uncertain systems is designed. An adaptive learning algorithm of GBF-CMAC is proposed, in which a signed distance and hierarchical structure are used to reduce the memory capacity needed by the neural network. The designed controller is applied for the tracking control of high-order flexible linear system with uncertainties and under-actuated structures, and it is compared with general SMC and integ￾ral sliding mode control (ISMC). The experimental results show that the designed controller has a better robustness and improves the chattering problem of SMC. Moreover, the chattering is controlled by adjusting the parameters of the neur￾al network to achieve the optimal choice between chattering and tracking performance. Keywords: Gaussian basis function; CMAC; neural network; adaptive; sliding mode control; hierarchical structure; un￾certain system; flexible linear system 随着现代控制系统规模的不断扩大，系统的 机械复杂度和环境复杂度越来越高，整个系统往 往呈现出复杂的非线性和不确定性。不确定性的 存在使得传统控制理论很难或者无法设计出满足 性能要求的控制系统。近些年来，很多学者针对 不确定系统设计了各种各样的控制系统[1-4] ，并取 得了较好的效果。 滑模控制的基本原理是根据系统当前的状态 有目的地改变系统的“结构”，使系统按照预定的 “滑动模态”的状态轨迹运动，故称滑模控制是一 种变结构控制。由于滑模控制具有“不变性”，当 系统处于滑动模态运动状态时，系统动力学行为 收稿日期：2017−06−19. 网络出版日期：2018−04−19. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61573230). 通信作者：付兴建. E-mail：fuxingjian@sina.com. 第 13 卷第 5 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.5 2018 年 10 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Oct. 2018

·792· 智能系统学报 第13卷 完全由设计的“滑动模态”决定，而与系统内部参 数的不确定性和外部扰动无关，此时系统具有完 全鲁棒性，使其在不确定系统的控制中得到广泛 应用-刀，并取得了较好的效果。但是滑模控制存 在一个较为严重的缺点，就是当系统状态轨迹到 达滑模面后，难以严格地沿着滑模面向平衡点移 动，而是会在滑模面两侧来回穿越，即发生抖 振。一方面，抖振的存在会很容易激发系统的未 建模特性，从而使控制性能下降甚至导致系统发 散；另一方面，抖振的存在对于控制系统的硬件 也具有一定的损伤，导致控制系统的寿命大大缩 图1GBF-CMAC映射原理 短。对此，文献[8]利用BP神经网络的输出来调 Fig.1 Mapping principle of GBF-CMAC 整离散指数趋近律中的到达速度常数和趋近速度 1)存储器寻址过程计算权值选择向量a(x)。 指数；文献[9]针对板球系统，设计了一种基于蚁 a(x)∈RxN中有N个1，N-N。个0。其中，N。个 群的直接自适应模糊滑模控制器；文献[10]针对 1对应于与输入匹配的N个存储器，其位置表示 磁轴承系统，设计了一种自适应滑模控制器；文 为p∈{1,2，…，N,j=1,2,…,Ne;N。=NN"表示实 献[11]针对一类不确定系统，设计了一种将CMAC 际存储器的个数，存储映射采用一一映射时也等 与滑模控制相结合的基于自组织小波CMAC的 于联想存储器的个数。 不确定非线性系统鲁棒自适应终端滑模控制。 2)输出过程就是将N。个存储器存储的权值进 本文针对一类不确定系统的跟踪控制问题， 行求和，得到神经网络输出值。 设计了一种将GBF-CMAC和滑模控制相结合的 GBF-CMAC在传统CMAC的映射过程中附 控制系统。利用符号函数和分层结构减少了神经 加了一个基函数的计算。基函数矩阵B(x)∈RNw 网络所需存储器的数量，进一步提出了一种神经 是一个对角矩阵，其对角线元素中有N个非零值， 网络参数的自适应学习律。并将设计的控制器用 位置为pj=1,2…,N,其计算如式(1)所示。 于含有不确定性和欠驱动结构的高阶柔性直线系 b()p,= exp --4)2 j=1,2…,N。(1) 统的跟踪控制。 式中：为输人向量的第k维；和σ分别为输 1分层结构GBF-CMAC神经网络设计 入向量第k维对应的第j层第个分块的高斯函数 CMAC本质是一种基于表格查询技术的， 的中心和宽度。以图1为例，当j=1时b(x)为图 局部连接的类感知器型联想记忆神经网络。由 中点1和点4的函数值的乘积。 于CMAC具有局部连接、收敛速度快和逼近精度 GBF-CMAC的输出如式(2)所示： 高等优点，所以在控制领域（尤其是机器人控制 y=a(x)B(x)w (2) 系统中)得到广泛应用31。其中Chiang等16 式中：y∈R为网络输出；a(r)∈RxM为权值选择向 量；B()ER“xM为基函数矩阵；w∈R“I为权值 将Albus提出的CMAC的常数型基函数推广到了 向量。 一般类型的基函数，并引入了可微型基函数 由上述可知，GBF-CMAC所需存储器的个数 GBF-CMAC即为其中一种。 N是输入维数的指数型函数。当输入维数增加时 GBF-CMAC神经网络映射原理如图1所示， 所需存储器个数呈指数型增加，给实际应用带来 其中GBF-CMAC的基本参数为：输入维数n=2、 极大的困难。有很多学者针对此问题作了大量研 输出维数m=1、联想空间层数N。=3、联想空间每 究，并取得了很多较好的成果。一种方法是在存 层分块数N=3和量化等级Q=7。 储映射时采用压缩映射，但有研究表明该方法可 CMAC包含5层（输入层I、离散层S、联想 能会导致网络学习能力下降甚至可能导致学习发 层A、存储层M和输出层O)和4个映射（离散映 散1。基于此，本文先利用符号距离减少神经 射I→S、联想映射S→A、存储映射A→M和输出 网络的输入维数，再利用分层结构进一步减少神 映射M→O)。4个映射过程进一步可以分为两部分。 经网络所需存储器的数量，并提出了一种多GBF-

完全由设计的“滑动模态”决定，而与系统内部参 数的不确定性和外部扰动无关，此时系统具有完 全鲁棒性，使其在不确定系统的控制中得到广泛 应用[5-7] ，并取得了较好的效果。但是滑模控制存 在一个较为严重的缺点，就是当系统状态轨迹到 达滑模面后，难以严格地沿着滑模面向平衡点移 动，而是会在滑模面两侧来回穿越，即发生抖 振。一方面，抖振的存在会很容易激发系统的未 建模特性，从而使控制性能下降甚至导致系统发 散；另一方面，抖振的存在对于控制系统的硬件 也具有一定的损伤，导致控制系统的寿命大大缩 短。对此，文献[8]利用 BP 神经网络的输出来调 整离散指数趋近律中的到达速度常数和趋近速度 指数；文献[9]针对板球系统，设计了一种基于蚁 群的直接自适应模糊滑模控制器；文献[10]针对 磁轴承系统，设计了一种自适应滑模控制器；文 献[11]针对一类不确定系统，设计了一种将 CMAC 与滑模控制相结合的基于自组织小波 CMAC 的 不确定非线性系统鲁棒自适应终端滑模控制。 本文针对一类不确定系统的跟踪控制问题， 设计了一种将 GBF-CMAC 和滑模控制相结合的 控制系统。利用符号函数和分层结构减少了神经 网络所需存储器的数量，进一步提出了一种神经 网络参数的自适应学习律。并将设计的控制器用 于含有不确定性和欠驱动结构的高阶柔性直线系 统的跟踪控制。 1 分层结构 GBF-CMAC 神经网络设计 CMAC 本质是一种基于表格查询技术的[12] ， 局部连接的类感知器型联想记忆神经网络。由 于 CMAC 具有局部连接、收敛速度快和逼近精度 高等优点，所以在控制领域 (尤其是机器人控制 系统中) 得到广泛应用[13-15]。其中 Chiang 等 [16] 将 Albus 提出的 CMAC 的常数型基函数推广到了 一般类型的基函数，并引入了可微型基函数， GBF-CMAC 即为其中一种。 n = 2 m = 1 Ne = 3 Nb = 3 Q = 7 GBF-CMAC 神经网络映射原理如图 1 所示， 其中 GBF-CMAC 的基本参数为：输入维数 、 输出维数 、联想空间层数 、联想空间每 层分块数 和量化等级 。 CMAC 包含 5 层 (输入层 I、离散层 S、联想 层 A、存储层 M 和输出层 O) 和 4 个映射 (离散映 射 I→S、联想映射 S→A、存储映射 A→M 和输出 映射 M→O)。4 个映射过程进一步可以分为两部分。 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 x1 3 2 1 4 5 6 (x1 , x2 ) 1 0 2 3 4 5 6 7 图 1 GBF-CMAC 映射原理 Fig. 1 Mapping principle of GBF-CMAC a(xI) a(xI) ∈ R 1×Nh Ne Nh −Ne Ne Ne pj ∈ {1,2,··· ,Nh}, j = 1,2,··· ,Ne Nh = NeNb n 1) 存储器寻址过程计算权值选择向量 。 中 有 个 1 ， 个 0。其中， 个 1 对应于与输入匹配的 个存储器，其位置表示 为 ； 表示实 际存储器的个数，存储映射采用一一映射时也等 于联想存储器的个数。 2) 输出过程就是将 Ne个存储器存储的权值进 行求和，得到神经网络输出值。 B(xI) ∈ R Nh×Nh Ne pj , j = 1,2,··· ,Ne GBF-CMAC 在传统 CMAC 的映射过程中附 加了一个基函数的计算。基函数矩阵 是一个对角矩阵，其对角线元素中有 个非零值， 位置为 ，其计算如式 (1) 所示。 b(xI)pj = ∏n k=1 exp   −(xI,k −µk, j,l k j ) 2 σ 2 k, j,l k j   , j = 1,2,··· ,Ne (1) xI,k k µk, j,l k j σk, j,l k j k j l k j j=1 b(xI)p1 式中： 为输入向量的第 维； 和 分别为输 入向量第 维对应的第 层第 个分块的高斯函数 的中心和宽度。以图 1 为例，当 时 为图 中点 1 和点 4 的函数值的乘积。 GBF-CMAC 的输出如式 (2) 所示： y = a(xI)B(xI)w (2) y ∈ R a(xI) ∈ R 1×Nh B(xI) ∈ R Nh×Nh w ∈ R Nh×1 式中： 为网络输出； 为权值选择向 量 ； 为基函数矩阵； 为权值 向量。 Nh 由上述可知，GBF-CMAC 所需存储器的个数 是输入维数的指数型函数。当输入维数增加时 所需存储器个数呈指数型增加，给实际应用带来 极大的困难。有很多学者针对此问题作了大量研 究，并取得了很多较好的成果。一种方法是在存 储映射时采用压缩映射，但有研究表明该方法可 能会导致网络学习能力下降甚至可能导致学习发 散 [17-18]。基于此，本文先利用符号距离减少神经 网络的输入维数，再利用分层结构进一步减少神 经网络所需存储器的数量，并提出了一种多 GBF- ·792· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷

第5期 付兴建，等：GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制 ·793· CMAC神经网络参数的自适应学习律。 数自适应学习律。不失一般性，现以输出维数 以二维输入为例，利用符号距离减少神经网 m=1为例说明其学习过程，当m≠1时仅需输出的 络输入维数的原理如图2所示，过程为： 每一维做下述运算即可。 1)若原网络的输人形如x=(x,2),则其可以 性能指标如式(4)： 表示为二维坐标系中的一个点； 2)设过原点的直线为x1+x2=0,其中1为常 E-y (4) 数。计算输入点到该直线的距离并将其作为网络 式中：y为输出期望值；y为神经网络输出。 的新输入，计算如式(3)所示： 第一层GBF-CMAC的个数为n=1,输入向 =专+ (3) V1+2 量为x1∈R,输出yR,参数学习律如式(5)(7)： a aE △wp=-U+Nb(x1)p,avp aE dy a(ya-y)b(x1)p (5) U+N.b(x1)p,dy awp U+N.b()p a (a(ya-y)b(x U+N.b(x) 2a(ya-y) U+N.b(xi)p, 1- Nb(x1)p, U+Neb(x1)p (6) [-(u-4)}2]x1-4 exp aa(ya-y)b(x1)p 图2符号距离原理图 △ci鵡= OGij U+N.b(x1)p Fig.2 Principle of signed distance 2a(ya-y) Neb(x1)p, 分层结构GBF-CMAC原理如图3所示。假 U+Neb(xi)p U+Nb(xi)p (7) 设网络输人维数为n,=18,若使用1个GBF-CMAC, -(x一 exp 其联想层数N=5,每层分块数N=42,则需要的 存储器总数N。=8.29×1029,这在实际应用中几乎 式中：△wp,、△4和△o#分别为权值的修正量、基 无法达到。若使用两层结构n1=1,2=6,每个 函数中心和宽度的修正量；α为学习率；U表示自 GBF-CMAC网络结构参数都选为N。=5,N。=42, 适应参数，为常数；i=1,2,…,2;j=1,2,…,N;除 则需要的存储器总数最少为N=7×10,这在实际 了P,和位置的参数，其余位置参数不更新。 应用中就可以很容易地实现。这种做法的实质是 该层网络除了计算各参数的修正量外，还需 通过增加少量的算法复杂度而达到大量减少所需 存储器个数的目的，随着处理器计算能力的加 要计算正，其计算如式(8： 强，这种方法完全具有可操作性8。 2wp b( =61. (8) GBF- :X2 CMAC2 式中：i=1,2,…,2;wp为权值向量w的第p个权值。 X1 GBF. GBF- 第二层GBF-CMAC的个数为m2。网络的输入 CMAC2 CMACI x2为m维列向量（其中i=1,2,…,2,,表示第i个 GBF- CMAC2 GBF-CMAC的输入维数， 立6=片输出为01。 i1 网络参数的学习律如式(9)(11)。 第二层 第一层 OE 图3分层结构GBF-CMAC原理图 AWp,=U+Nb(x2i)p Owp Fig.3 Principle of hierarchical GBF-CMAC OE 002= (9) 分层结构GBF-CMAC学习过程的参数更新 U+N.b(x2)002i Owp 一般采用反向传播和梯度下降法0-2。在此基础 上，本文提出了一种分层结构多GBF-CMAC的参 票装- U+N.b(x2i)p,Ox1i OWp

CMAC 神经网络参数的自适应学习律。 以二维输入为例，利用符号距离减少神经网 络输入维数的原理如图 2 所示，过程为： 1) 若原网络的输入形如 x = (x1, x2) ，则其可以 表示为二维坐标系中的一个点； 2) 设过原点的直线为x1 +λx2 = 0 ，其中 λ 为常 数。计算输入点到该直线的距离并将其作为网络 的新输入，计算如式 (3) 所示： xds = x1 +λx2 √ 1+λ 2 (3) O xds x1 (x1 , x2 ) x2 · 图 2 符号距离原理图 Fig. 2 Principle of signed distance nz = 18 Ne = 5 Nb = 42 Nh = 8.29×1029 n1 = 1,n2 = 6 Ne = 5,Nb = 42 Nh = 7×108 分层结构 GBF-CMAC 原理如图 3 所示。假 设网络输入维数为 ，若使用 1 个 GBF-CMAC， 其联想层数 ，每层分块数 ，则需要的 存储器总数 ，这在实际应用中几乎 无法达到。若使用两层结构 ， 每 个 GBF-CMAC 网络结构参数都选为 ， 则需要的存储器总数最少为 ，这在实际 应用中就可以很容易地实现。这种做法的实质是 通过增加少量的算法复杂度而达到大量减少所需 存储器个数的目的，随着处理器计算能力的加 强，这种方法完全具有可操作性[18-19]。 GBF￾CMAC2 GBF￾CMAC1 GBF￾CMAC2 GBF￾CMAC2 第二层 第一层 xI x2,1 x2,i x2,n2 o2,1 o2,i o2,n2 x1,1 x1,i x1,n2 y 图 3 分层结构 GBF-CMAC 原理图 Fig. 3 Principle of hierarchical GBF-CMAC 分层结构 GBF-CMAC 学习过程的参数更新 一般采用反向传播和梯度下降法[20-21]。在此基础 上，本文提出了一种分层结构多 GBF-CMAC 的参 m = 1 m , 1 数自适应学习律。不失一般性，现以输出维数 为例说明其学习过程，当 时仅需输出的 每一维做下述运算即可。 性能指标如式 (4)： E = 1 2 (yd −y) 2 (4) 式中： yd为输出期望值； y 为神经网络输出。 n1 = 1 x1 ∈ R n2 y ∈ R 第一层 GBF-CMAC 的个数为 ，输入向 量为 ，输出 ，参数学习律如式 (5)~(7)： ∆wpj = − α U +Neb(x1)pj ∂E ∂wpj = − α U +Neb(x1)pj ∂E ∂y ∂y ∂wpj = α(yd − y)b(x1)pj U +Neb(x1)pj (5) ∆µi, j,l i j = ∂ ∂µi, j,l i j ( α(yd −y)b(x1)pj U +Neb(x1)pj ) = 2α(yd −y) U +Neb(x1)pj ( 1− Neb(x1)pj U +Neb(x1)pj ) × exp   −(x1,i −µi, j,l i j ) 2 σ 2 i, j,l i j     x1,i −µi, j,l i j σ 2 i, j,l i j   (6) ∆σi, j,l i j = ∂ ∂σi, j,l i j α(yd −y)b(x1)pj U +Neb(x1)pj = 2α(yd −y) U +Neb(x1)pj ( 1− Neb(x1)pj U +Neb(x1)pj ) × exp   −(x1,i −µi, j,l i j ) 2 σ 2 i, j,l i j     (xI,i −µi, j,l i j ) 2 σ 3 i, j,l i j   (7) ∆wpj ∆µi, j,l i j ∆σi, j,l i j α U i = 1,2,··· ,n2 j = 1,2,··· ,Ne pj l i j 式中： 、 和 分别为权值的修正量、基 函数中心和宽度的修正量； 为学习率； 表示自 适应参数，为常数； ； ；除 了 和 位置的参数，其余位置参数不更新。 ∂E ∂x1,i 该层网络除了计算各参数的修正量外，还需 要计算 ，其计算如式 (8)： − ∂E ∂x1,i = ∑Ne j=1   2wpjb(x1,i) pj x1,i −µi, j,l i j σ 2 i, j,l i j   = δ1,i (8) 式中： i = 1,2,··· ,n2； wpj为权值向量 w 的第 pj 个权值。 n2 x2,i n i 2 i = 1,2,··· ,n2 n i 2 i ∑n2 i=1 n i 2 = n3 o2,i 第二层 GBF-CMAC 的个数为 。网络的输入 为 维列向量 (其中 ， 表示第 个 GBF-CMAC 的输入维数， )；输出为 。 网络参数的学习律如式 (9)~(11)。 ∆wpj = − α U +Neb(x2,i) pj ∂E ∂wpj = − α U +Neb(x2,i) pj ∂E ∂o2,i ∂o2,i ∂wpj = − α U +Neb(x2,i) pj ∂E ∂x1,i ∂o2,i ∂wpj = αδ1,ib(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj (9) 第 5 期 付兴建，等：GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制 ·793·

·794· 智能系统学报 第13卷 a a61ib(x2)p △4= 不确定系统复合控制设计 U+Nb(x2i)p 2a61.i Nb(x2)p, 考虑如下形式的不确定系统： U+N.b(x2A)p U+N.b(x2i)p (10) i=Ax+bu+Ta -(r2-μ6)月 26一H y=Cx (12) exp σ2 五9 6,边 式中：x=[x1名…xn元JP∈Rmx1为系统的状 ad1b(x2i）p 态；u∈R为输入；A∈R2m、b∈R2mx1和C∈Rm2m为 U+Neb(x2i)p 系统参数矩阵，矩阵C的元素c2-1(i=1,2,…,n)为 2a01. N.b(x2i)p, 1,其余元素为0；t4∈R2x1为不确定部分。 U+N.b(x2i)p U+N.b(x2i)p (11) 对上述不确定系统的输出跟踪控制问题，滑 -(x2- 模控制器的设计如下。 exp 了 1)定义系统误差 从系统状态方程式(12)可知系统的状态向量 式中：△wp、△46和△c,分别为权值修正量、基 包含两部分：第一部分为系统输出y=y12…yJP= 函数中心和宽度修正量；α表示学习率；U表示自 [x2…xJT；第二部分为系统输出的导数 适应参数，为常数；i=1,2,…,n2;f=1,2…, =[2…=多…J「。所以系统的输出跟 j=1,2,…,Ne;除了p和位置的参数，其余位置参 踪控制即为部分状态的跟踪控制。设状态期望值 数不更新。 xa=[aa1a22…xanJ,定义系统的误差及其 1)在分层结构多GBF-CMAC神经网络中，对 导数如式(13)、(14)所示： 于具有封闭性质的GBF-CMAC神经网络结构参 e=[x4-a-…xn-xn元4n-元J (13) 数(N和N)和学习参数(a和U),每个GBF- e=[1-元1-龙…i4n-元n花n-无J (14) CMAC变量名称一样，但实际使用过程对于每个 式中e,eeR2mx1。 网络都有相互独立的参数值，且其生存期为神经 2)设计滑模面 网络的整个工作周期，另外j=1,2,…,N为一种固 为保证系统的输出跟踪满足一定的性能品 定表示形式。 质，设计的滑模面及其导数如式(15)、(16)所示： 2)在分层结构的多GBF-CMAC神经网络中， s(x)=Ae (15) 对于具有开放性质的网络参数（输入变量和输出 s(x)=Ae (16) 变量)，对于每个GBF-CMAC都作了有区别的命 式中：s(x)eR2mxl；A=diag(r1,r2,…,r2n),r>0o 名。分层结构的多GBF-CMAC神经网络整体：输 3)设计滑模控制器 入向量为x1eRx1,输出为y∈R。内部第一层网 滑模面的有限时间可达条件如式(17)所示： 络：输入向量为x1∈R,输出为y∈R,且 s50,i=1,2,…,2n(17) i=1,2,…,2为固定表示形式。内部第二层网络： 采用等速趋近律设计的滑模控制器如式(18) 输入向量为x2∈R,】 5=m,输出为0eR,且 所示： =1,2,…,为固定表示形式。 u=by-biAx v=a+bksat(s/6) (18) 3)在分层结构多GBF-CMAC神经网络中，对 式中：b:=(bTb)bT∈Rx2m,表示向量b的左逆； 于临时参数（存储器地址p和输入量化结果）仅根 k=[k1k2…k]eR1x2n,k>0;sat(s/⊙)表示s的饱和函 据其因变量进行附加型命名，如第一层两个参数 数，其中6为常数，其定义如式(19)所示： 分别命名为p和，第二层两个参数分别命名为 P和。另外，这两个参数的作用域和生存期为 1, 81 GBF-CMAC神经网络内部的一个学习周期。 sat(s/o)= s/6-1< <1 (19) 6 4)在分层结构多GBF-CMAC神经网络中，由 -1, 于本文只讨论两层结构GBF-CMAC的参数学习 采用积分类型的滑模面就可以构成积分滑模 律，故=1。但结果不失一般性，如果需要采用更 控制。针对上述不确定系统，设计的积分滑模面 多分层结构，仅需在前一层网络中计算参数6就 如式(20)所示。采用指数趋近律设计的积分滑模 可以对后一层网络的参数进行更新，通过这种递 控制器如式(21)所示。 推过程就可以实现任意分层数的网络参数自适应 s(x)=xa- (x-Ae)dt (20) 更新

∆µfi, j,l f i j = ∂ ∂µfi, j,l f i j   αδ1,ib(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj   = 2αδ1,i U +Neb(x2,i) pj   1− Neb(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj   × exp   −(x2,i, fi −µfi, j,l f i j ) 2 σ 2 fi, j,l f i j     x2,i, fi −µfi, j,l f i j σ 2 fi, j,l f i j   (10) ∆σfi, j,l f i j = ∂ ∂σfi, j,l f i j   αδ1,ib(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj   = 2αδ1,i U +Neb(x2,i) pj   1− Neb(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj   × exp   −(x2,i, fi −µfi, j,l f i j ) 2 σ 2 fi, j,l f i j     ( x2,i, fi −µfi, j,l f i j )2 σ 3 fi, j,l f i j   (11) ∆wpj ∆µfi, j,l f i j ∆σfi, j,l f i j α U i = 1,2,··· ,n2 fi = 1,2,··· ,n i 2 j = 1,2,··· ,Ne pj l fi j 式中： 、 和 分别为权值修正量、基 函数中心和宽度修正量； 表示学习率； 表示自 适应参数，为常数； ； ； ；除了 和 位置的参数，其余位置参 数不更新。 Ne Nb α U j = 1,2,··· ,Ne 1) 在分层结构多 GBF-CMAC 神经网络中，对 于具有封闭性质的 GBF-CMAC 神经网络结构参 数 ( 和 ) 和学习参 数 ( 和 ) ， 每 个 GBF￾CMAC 变量名称一样，但实际使用过程对于每个 网络都有相互独立的参数值，且其生存期为神经 网络的整个工作周期，另外 为一种固 定表示形式。 xI ∈ R n×1 y ∈ R x1 ∈ R n2 y ∈ R i = 1,2,··· ,n2 x2,i ∈ R n i 2 ∑n2 i=1 n i 2 = n3 o2,i ∈ R fi = 1,2,··· ,n i 2 2) 在分层结构的多 GBF-CMAC 神经网络中， 对于具有开放性质的网络参数 (输入变量和输出 变量)，对于每个 GBF-CMAC 都作了有区别的命 名。分层结构的多 GBF-CMAC 神经网络整体：输 入向量为 ，输出为 。内部第一层网 络：输入向量为 ，输出为 ， 且 为固定表示形式。内部第二层网络： 输入向量为 ， ，输出为 ，且 为固定表示形式。 p l pj l i j pj l fi j 3) 在分层结构多 GBF-CMAC 神经网络中，对 于临时参数 (存储器地址 和输入量化结果 ) 仅根 据其因变量进行附加型命名，如第一层两个参数 分别命名为 和 ，第二层两个参数分别命名为 和 。另外，这两个参数的作用域和生存期为 GBF-CMAC 神经网络内部的一个学习周期。 n3=n δ 4) 在分层结构多 GBF-CMAC 神经网络中，由 于本文只讨论两层结构 GBF-CMAC 的参数学习 律，故 。但结果不失一般性，如果需要采用更 多分层结构，仅需在前一层网络中计算参数 就 可以对后一层网络的参数进行更新，通过这种递 推过程就可以实现任意分层数的网络参数自适应 更新。 2 不确定系统复合控制设计 考虑如下形式的不确定系统： { x˙ = Ax+ bu+τd y = Cx (12) x = [x1 x˙1 x2 x˙2 ··· xn x˙n] T ∈ R 2n×1 u ∈ R A ∈ R 2n×2n b ∈ R 2n×1 C ∈ R n×2n C ci,2i−1(i = 1,2,··· ,n) τd ∈ R 2n×1 式中： 为系统的状 态 ； 为输入； 、 和 为 系统参数矩阵，矩阵 的元素 为 1，其余元素为 0； 为不确定部分。 对上述不确定系统的输出跟踪控制问题，滑 模控制器的设计如下。 1) 定义系统误差 y = [y1 y2 ··· yn] T = [x1 x2 ··· xn] T y˙ = [˙y1 y˙2 ··· y˙n] T =[ ˙x1 x˙2 ··· x˙n] T xd = [xd,1 x˙d,1 xd,2 x˙d,2 ··· xd,n x˙d,n] T 从系统状态方程式 (12) 可知系统的状态向量 包含两部分：第一部分为系统输出 ；第二部分为系统输出的导数 。所以系统的输出跟 踪控制即为部分状态的跟踪控制。设状态期望值 ，定义系统的误差及其 导数如式 (13)、(14) 所示： e = [xd,1 − x1 x˙d,1 − x˙1 ··· xd,n − xn x˙d,n − x˙n] T (13) e˙ = [ ˙xd,1 − x˙1 x¨d,1 − x¨1 ··· x˙d,n − x˙n x¨d,n − x¨n] T (14) e, e˙ ∈ R 式中 2n×1。 2) 设计滑模面 为保证系统的输出跟踪满足一定的性能品 质，设计的滑模面及其导数如式 (15)、(16) 所示： s(x) = Λe (15) s˙(x) = Λe˙ (16) s(x) ∈ R 2n×1 式中： ； Λ= diag(r1,r2,··· ,r2n)，ri > 0。 3) 设计滑模控制器 滑模面的有限时间可达条件如式 (17) 所示： sis˙i 0, i = 1,2,··· ,2n (17) 采用等速趋近律设计的滑模控制器如式 (18) 所示： { u = bliv− bliAx v = x˙d + bksat(s/δ) (18) bli = (b T b) −1 b T ∈ R 1×2n b k = [k1 k2 ··· k2n] ∈ R 1×2n ki > 0 sat(s/δ) s δ 式 中 : ，表示向量 的左逆； ， ； 表示 的饱和函 数，其中 为常数，其定义如式 (19) 所示： sat(s/δ)=    1, s δ ⩾ 1 s/δ, −1 < s δ < 1 −1, s δ ⩽ −1 (19) 采用积分类型的滑模面就可以构成积分滑模 控制。针对上述不确定系统，设计的积分滑模面 如式 (20) 所示。采用指数趋近律设计的积分滑模 控制器如式 (21) 所示。 s(x) = xd − ∫ t 0 (x˙ −ΛIe)dt (20) ·794· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷

第5期 付兴建，等：GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制 ·795· 式中：A=diag(nu,n2,…,n2),m>0。 t-5\ Ti=exp 02 i=12,…,6 (25) fu=bp-bE△x v=+Ae+b(ps+kisat(s/61)) (21) 0 0 0 0 0 式中：p=[p1p2…p2n,p>0;6为常数；k=kk2… -213.00 140.80 0 0 k2J,ki>0。 0 0 0 1 0 0 神经网络用于控制系统设计时，一种典型的 150.60-301.20 150.6 0 00 0 0 0 1 结构是利用神经网络逼近非线性映射的能力，将 0 0 150.60 -150.6 -3.94 神经网络与其他控制器并联组成复合控制器。针 (26) 对上述不确定系统的输出控制问题，设计GBF-CMAC b=[046000000 (27) 和滑模控制结合的控制系统结构如图4所示。 「100000 C= 001000 (28) 000010 分层结构的 GBF- 跟踪控制系统MATLAB/SIMULINK仿真图 CMAC 更新-一 如图6~8所示。图6为控制系统总体结构图；图7 所示为滑模面计算子系统，其中利用一个切换开 一般滑模 被控 滑模面 控制器 对象 关可以实现一般滑模面和积分滑模面之间的切 换；图8为GBF-CMAC子系统，包括符号函数计 算部分和分层GBF-CMAC两部分。 图4控制系统结构图 Fig.4 Structure of control system MAC 总控制量)为式(22)所示： u(t)=y(t)us(1)+(1-y(t))uc(1) (22) SMC 式中：u()为总控制量；us()和uc()分别为滑模控制 和GBF-CMAC控制器的输出；y0为选择函数，即 滑模面 被控对象 0-{628 (23) 图6控制系统总体仿真结构图 3高阶柔性直线系统复合跟踪控制 Fig.6 Simulation of control system 3.1被控对象建模及仿真参数 将设计的控制系统用于高阶柔性直线系统的 跟踪控制四，实际系统如图5所示，系统状态空间 表达式如式(24)所示。该系统是一种典型的欠驱 动系统，其部分小车无法直接控制，而只能通过 常数 各个小车之间的耦合作用实现控制的目的。 微分 微分 微分一 机电平台 DSP控制器/ 图7滑模面计算图 数据采集卡 Fig.7 Calculation of sliding surface 软件 实时控制箱 图5高阶柔性直线系统 DS Fig.5 High-order flexible linear system DS ()=Ax(1)+bu(t)+a(t) (24) y(t)=Cx(t) DS 分层GBF.CMAC 式中：ta()=[x1t2T3x4Tst「为系统不确定项，其值 图8高斯基函数小脑模型关节控制器 如式(25)；参数A、b和C是系统参数；x(0= Fig.8 GBF-CMAC [x1元122「为系统状态；()为系统控制量； 仿真控制参数为：仿真时间T=10s;仿真步 y()=y1y23T为系统输出。 长△T=0.001s。高阶柔性直线系统状态期望值为

式中： ΛI= diag(rI,1,rI,2,··· ,rI,2n)，rI,i > 0。 { u = bliv− bliΛIx v = x˙d +ΛIe+ b(ps+ kIsat(s/δI)) (21) p=[p1 p2 ··· p2n] T pi >0 δI kI =[kI,1 kI,2 ··· kI,2n], kI,i > 0 式中 ： ， ； 为常数； 。 神经网络用于控制系统设计时，一种典型的 结构是利用神经网络逼近非线性映射的能力，将 神经网络与其他控制器并联组成复合控制器。针 对上述不确定系统的输出控制问题，设计 GBF-CMAC 和滑模控制结合的控制系统结构如图 4 所示。 被控 对象 一般滑模 控制器 滑模面 dx dt xd e x s uC uS u 更新 + − xd · 分层结构的 多GBF￾CMAC 图 4 控制系统结构图 Fig. 4 Structure of control system 总控制量 u(t) 为式 (22) 所示： u(t) = γ(t)uS (t)+(1−γ(t))uC(t) (22) u(t) uS (t) uC(t) γ(t) 式中： 为总控制量； 和 分别为滑模控制 和 GBF-CMAC 控制器的输出； 为选择函数，即 γ(t) = { 1, t < 2 s 0, t ⩾ 2 s (23) 3 高阶柔性直线系统复合跟踪控制 3.1 被控对象建模及仿真参数 将设计的控制系统用于高阶柔性直线系统的 跟踪控制[22] ，实际系统如图 5 所示，系统状态空间 表达式如式 (24) 所示。该系统是一种典型的欠驱 动系统，其部分小车无法直接控制，而只能通过 各个小车之间的耦合作用实现控制的目的。 机电平台 DSP 控制器/ 数据采集卡 软件 实时控制箱 图 5 高阶柔性直线系统 Fig. 5 High-order flexible linear system { x˙(t) = Ax(t)+ bu(t)+τd(t) y(t) = Cx(t) (24) τd(t) = [τ1 τ2 τ3τ4 τ5 τ6] T A b C x(t) = [x1 x˙1 x2 x˙2 x3 x˙3] T u(t) y(t) = [y1 y2 y3] T 式中： 为系统不确定项，其值 如 式 (25) ；参数 、 和 是系统参数； 为系统状态； 为系统控制量； 为系统输出。 τi = exp  − ( t−5 0.2 )2  , i = 1,2,··· ,6 (25) A =   0 1 0 0 0 0 −213.0 0 140.8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 150.6 0 −301.2 0 150.6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 150.6 0 −150.6 −3.94   (26) b = [ 0 4600 0 0 0 0 ]T (27) C =   1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0   (28) 跟踪控制系统 MATLAB/SIMULINK 仿真图 如图 6~8 所示。图 6 为控制系统总体结构图；图 7 所示为滑模面计算子系统，其中利用一个切换开 关可以实现一般滑模面和积分滑模面之间的切 换；图 8 为 GBF-CMAC 子系统，包括符号函数计 算部分和分层 GBF-CMAC 两部分。 CMAC SMC 滑模面 被控对象 dx dt t … xd 图 6 控制系统总体仿真结构图 Fig. 6 Simulation of control system 微分 常数 xd − + − + − + − + − − + + − s + + + + − x 微分 微分 微分 Λ Λ 1 s 图 7 滑模面计算图 Fig. 7 Calculation of sliding surface xI 分层 GBF-CMAC yr uC DS DS DS 图 8 高斯基函数小脑模型关节控制器 Fig. 8 GBF-CMAC T = 10 ∆T = 0.001 仿真控制参数为：仿真时间 s；仿真步 长 s。高阶柔性直线系统状态期望值为 第 5 期 付兴建，等：GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制 ·795·

·796· 智能系统学报 第13卷 xu=sin().i=1.3.5 4种控制器的控制量输出如图11所示，跟踪 x=(r/2)cos(50,i=2,4,6 误差如图12所示。 3 ---22 -.-42 一般滑模控制器的参数设置为A=5I6、k= 0.2 10-3×[111111]和6=0.8。积分滑模控制参数为k= 5×10-×[111111),p=5×10×[111111],A= -02 diag(30,30,20,25,30,20)和6=0.8。 5 10 传统CMAC的参数设为N。=5、N=3、=0.1, (a)小车1 权值存储器数量为N。×102。 3 ---22 --42 GBF-CMAC部分首先利用符号函数将18维 02 输入变成9维输入，然后利用4个GBF-CMAC构 成两层结构，其参数设置为：m=1,2=3,n=9, 0 =3,i=1,2,3.4个GBF-CMAC的结构参数和学 10 tis 习参数都设置为相同的值：N。=5,N。=3、22、42, (b)小车2 a=0.5,U=3。 ---22-.-42 3.2结果分析 1)复合控制器中神经网络不同分块数(3、 22、42)下控制效果对比实验 3种控制器的控制量输出如图9所示，跟踪 5 误差如图10所示。 ts (c)小车3 0.02 图103种控制器跟踪误差 0 Fig.10 Tracking error of three controllers 0.02 -0.02 0 (a)N=3 -0.02 0.02 0 (a)SMC 0.02 -0.02 10 0 (b)N=22 -0.02 0 0.02 (b)ISMC 04 0.02 -0.02 10 (C)N,=42 0.01 图93种控制器输出对比 s Fig.9 Output contrast of three controllers (c)GBF-CMAC+SMC 综合图9和图10可以看出，神经网络的参数 N在不同值时，复合控制器的性能有较大差别。 0.02 N越小其控制量的抖振抑制效果越好，并且对距 离外部控制越远的小车的控制精度越高，但其鲁 棒性也越差。综合考虑，N。=3时的复合控制器的 5 s 性能最好。 (d)CMAC+SMC 2)一般滑模控制、积分滑模控制、传统CMAC 图114种控制器输出对比 复合控制和改进GBF-CMAC复合控制对比实验 Fig.11 Output contrast of four controller

   xd,i = sin(π 2 t), i = 1,3,5 xd,i = (π/2) cos( π 2 t), i = 2,4,6 Λ = 5I6 10−3 ×[1 1 1 1 1 1] δ = 0.8 k = 5×10−4 ×[1 1 1 1 1 1] p = 5×10−4 ×[1 1 1 1 1 1] ΛI = δI = 0.8 一般滑模控制器的参数设置为 、k = 和 。积分滑模控制参数为 ， ， diag(30,30,20,25,30,20) 和 。 Ne = 5 Nb=3 α=0.1 Ne ×102 传统 CMAC 的参数设为 、 、 ， 权值存储器数量为 。 n1 = 1 n2 = 3 n = 9 n i 2 = 3,i = 1,2,3 Ne = 5 Nb α=0.5 U=3 GBF-CMAC 部分首先利用符号函数将 18 维 输入变成 9 维输入，然后利用 4 个 GBF-CMAC 构 成两层结构，其参数设置为： ， ， ， 。4 个 GBF-CMAC 的结构参数和学 习参数都设置为相同的值： ， =3、22、42， ， 。 3.2 结果分析 1) 复合控制器中神经网络不同分块数 (3、 22、42) 下控制效果对比实验 3 种控制器的控制量输出如图 9 所示，跟踪 误差如图 10 所示。 t/s u3/N 0.02 −0.02 0 0 5 10 (a) Nb=3 t/s u22/N 0.02 −0.02 0 0 5 10 (b) Nb=22 t/s u42/N 0.02 −0.02 0 5 10 (c) Nb=42 图 9 3 种控制器输出对比 Fig. 9 Output contrast of three controllers Nb Nb Nb = 3 综合图 9 和图 10 可以看出，神经网络的参数 在不同值时，复合控制器的性能有较大差别。 越小其控制量的抖振抑制效果越好，并且对距 离外部控制越远的小车的控制精度越高, 但其鲁 棒性也越差。综合考虑， 时的复合控制器的 性能最好。 2) 一般滑模控制、积分滑模控制、传统 CMAC 复合控制和改进 GBF-CMAC 复合控制对比实验 4 种控制器的控制量输出如图 11 所示，跟踪 误差如图 12 所示。 e2/cm t/s 0 5 10 −0.2 0 0.2 (a) 小车 1 e1/cm t/s 3 0 5 10 −0.2 0 0.2 22 42 3 22 42 3 22 42 (b) 小车 2 e3/cm t/s 0 5 10 −0.2 0 0.2 (c) 小车 3 图 10 3 种控制器跟踪误差 Fig. 10 Tracking error of three controllers t/s uSMC/N 0.02 −0.02 0 0 5 10 (a) SMC t/s uISMC/N 0.02 −0.02 0 0 0 0 5 10 (b) ISMC t/s uG-C+S/N 0.02 −0.02 0 5 10 (c) GBF-CMAC+SMC t/s uC+S/N 0.02 −0.02 0 5 10 (d) CMAC+SMC 图 11 4 种控制器输出对比 Fig. 11 Output contrast of four controller ·796· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷

第5期 付兴建，等：GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制 ·797· -SMC ---ISMC -.-G-C++S LIANG Taonian,CHEN Jianjun.Design of fractional or- 0.2r der PI controller for fractional order systems with uncer- 0.2 tain parameters[J].Control theory applications,2011, -0.4 28(3):400-406. [2]叶思隽，王新民，张清江，等.不确定系统混合H,H鲁棒 (a)小车1 控制的直接迭代LM1方法[).控制理论与应用，2011， 28(2247-255. -SMC ---ISMC --G-C+S-C+S YE Sijun,WANG Xinmin,ZHANG Qingjiang,et al.Dir- 0.2 ect iterative LMI-based approach of mixed H-two/H-infin- 号 ity robust control for uncertain systems[J].Control theory -0.4 applications,2011,28(2):247-255. [3]齐丽强，孙明轩，管海娃.非参数不确定系统的有限时间 ds (b)小车2 选代学习控制U.自动化学报，2013,40(7)：1320-1327. SMC---ISMC --G-C+S-C+S QI LiQiang,SUN Ming Xuan,GUAN HaiWa.Finite-time 0.2 iterative learning control for systems with nonparametric uncertainties[J].Acta automatica sinica,2013,40(7): -0.2W 1320-1327. -04 [4]于靖，陈谋，姜长生，基于干扰观测器的非线性不确定系 10 於 统自适应滑模控制[.控制理论与应用，2014,31(8)： (c)小车3 993-999 图124种控制器跟踪误差 YU Jing,CHEN Mou,JIANG Changsheng,Adaptive slid- Fig.12 Tracking error of four controllers ing mode control for nonlinear uncertain systems based on 从图11和图12可以看出，一般滑模控制抖 disturbance observer[J].Control theory applications, 振程度最大；积分滑模控制抖振程度小，但鲁棒 2014,31(8):993-999 性和跟踪精度最差；本文设计的改进GBF-CMAC [5]王琦，陈龙胜.非仿射纯反馈不确定系统预设性能鲁棒 复合控制器，不仅抖振基本消除，而且具有较好 自适应控制[.电机与控制学报，2017,21(2)：109-116. WANG Qi,CHEN Longsheng.Prescribed performance ad- 的鲁棒性，同时输出跟踪精度要比一般滑模控 aptive robust control for a class of uncertain non-affine 制、积分滑模控制和传统CMAC复合控制器好。 pure feedback system[J].Electric machines and control, 4结束语 2017,21(2):109-116. [6]王艳敏，冯勇，夏红伟，等.多输入不确定系统的平滑非 针对一类不确定系统，设计了将GBF-CMAC 奇异终端滑模控制[.控制与决策，2015,30(1)：161- 与滑模控制结合的复合控制器，采用符号函数和 165 分层结构减少了GBF-CMAC所需存储器的数量， WANG Yanmin,FENG Yong,XIA Hongwei,et al. 提出了一种分层结构多GBF-CMAC参数的自适 Smooth nonsingular terminal sliding mode control of un- 应学习律。并将设计的复合控制器应用于高阶柔 certain multi-input systemsfJ].Control and decision,2015, 性直线系统的输出跟踪控制中。从实验结果可以 30(1):161-165. 看出，本文所提的复合控制器不仅具有较好的鲁 [7]胡盛斌.非线性多关节机械人系统滑模控制M.北京： 棒性，并基本消除抖振现象，而且跟踪精度比一 国防工业出版社，2015， [8]姚灵灵，贺乃宝，高倩，等.四旋翼偏航系统的优化神经 般滑模控制和积分滑模控制要好。此外，结果显 网络滑模控制[.机械设计与制造，2016(10)：147-150. 示可以通过调节复合控制器中神经网络的参数对 YAO Lingling,HE Naibao,GAO Qian,et al.Optimized 控制系统抖振程度、鲁棒性和跟踪精度进行调 neural network sliding mode control for the yaw system as- 节，从而可以在抖振程度、鲁棒性和跟踪精度之 sociated with quad-rotor[J].Machinery design manufac- 间进行最优选择。 ture,2016(10):147-150. 参考文献： [9]翟晨汐，李洪兴.板球系统的直接自适应模糊滑模控制 [.计算机仿真，2016,33(2)：383-388,432 [1]梁涛年，陈建军.分数阶参数不确定系统的PT控制器 ZHAI Chenxi,LI Hongxing.Direct adaptive fuzzy sliding- [.控制理论与应用，2011,28(3)：400-406. mode control for ball and plate system[J].Computer simu-

e2/cm t/s 0 5 10 −0.4 0 −0.2 0.2 (a) 小车 1 e1/cm t/s 0 5 10 −0.4 −0.2 0 0.2 (b) 小车 2 e3/cm t/s 0 5 10 −0.4 −0.2 0 0.2 (c) 小车 3 SMC ISMC G-C+S C+S SMC ISMC G-C+S C+S SMC ISMC G-C+S C+S 图 12 4 种控制器跟踪误差 Fig. 12 Tracking error of four controllers 从图 11 和图 12 可以看出，一般滑模控制抖 振程度最大；积分滑模控制抖振程度小，但鲁棒 性和跟踪精度最差；本文设计的改进 GBF-CMAC 复合控制器，不仅抖振基本消除，而且具有较好 的鲁棒性，同时输出跟踪精度要比一般滑模控 制、积分滑模控制和传统 CMAC 复合控制器好。 4 结束语 针对一类不确定系统，设计了将 GBF-CMAC 与滑模控制结合的复合控制器，采用符号函数和 分层结构减少了 GBF-CMAC 所需存储器的数量， 提出了一种分层结构多 GBF-CMAC 参数的自适 应学习律。并将设计的复合控制器应用于高阶柔 性直线系统的输出跟踪控制中。从实验结果可以 看出，本文所提的复合控制器不仅具有较好的鲁 棒性，并基本消除抖振现象，而且跟踪精度比一 般滑模控制和积分滑模控制要好。此外，结果显 示可以通过调节复合控制器中神经网络的参数对 控制系统抖振程度、鲁棒性和跟踪精度进行调 节，从而可以在抖振程度、鲁棒性和跟踪精度之 间进行最优选择。 参考文献： 梁涛年, 陈建军. 分数阶参数不确定系统的 PIλ 控制器 [J]. 控制理论与应用, 2011, 28(3): 400–406. [1] LIANG Taonian, CHEN Jianjun. Design of fractional or￾der PIλ controller for fractional order systems with uncer￾tain parameters[J]. Control theory & applications, 2011, 28(3): 400–406. 叶思隽, 王新民, 张清江, 等. 不确定系统混合 H2 /H∞鲁棒 控制的直接迭代 LMI 方法[J]. 控制理论与应用, 2011, 28(2): 247–255. YE Sijun, WANG Xinmin, ZHANG Qingjiang, et al. Dir￾ect iterative LMI-based approach of mixed H-two/H-infin￾ity robust control for uncertain systems[J]. Control theory & applications, 2011, 28(2): 247–255. [2] 齐丽强, 孙明轩, 管海娃. 非参数不确定系统的有限时间 迭代学习控制[J]. 自动化学报, 2013, 40(7): 1320–1327. QI LiQiang, SUN MingXuan, GUAN HaiWa. Finite-time iterative learning control for systems with nonparametric uncertainties[J]. Acta automatica sinica, 2013, 40(7): 1320–1327. [3] 于靖, 陈谋, 姜长生. 基于干扰观测器的非线性不确定系 统自适应滑模控制[J]. 控制理论与应用, 2014, 31(8): 993–999. YU Jing, CHEN Mou, JIANG Changsheng, Adaptive slid￾ing mode control for nonlinear uncertain systems based on disturbance observer[J]. Control theory & applications, 2014, 31(8): 993–999. [4] 王琦, 陈龙胜. 非仿射纯反馈不确定系统预设性能鲁棒 自适应控制[J]. 电机与控制学报, 2017, 21(2): 109–116. WANG Qi, CHEN Longsheng. Prescribed performance ad￾aptive robust control for a class of uncertain non-affine pure feedback system[J]. Electric machines and control, 2017, 21(2): 109–116. [5] 王艳敏, 冯勇, 夏红伟, 等. 多输入不确定系统的平滑非 奇异终端滑模控制[J]. 控制与决策, 2015, 30(1): 161– 165. WANG Yanmin, FENG Yong, XIA Hongwei, et al. Smooth nonsingular terminal sliding mode control of un￾certain multi-input systems[J]. Control and decision, 2015, 30(1): 161–165. [6] 胡盛斌. 非线性多关节机械人系统滑模控制[M]. 北京: 国防工业出版社, 2015. [7] 姚灵灵, 贺乃宝, 高倩, 等. 四旋翼偏航系统的优化神经 网络滑模控制[J]. 机械设计与制造, 2016(10): 147–150. YAO Lingling, HE Naibao, GAO Qian, et al. Optimized neural network sliding mode control for the yaw system as￾sociated with quad-rotor[J]. Machinery design & manufac￾ture, 2016(10): 147–150. [8] 翟晨汐, 李洪兴. 板球系统的直接自适应模糊滑模控制 [J]. 计算机仿真, 2016, 33(2): 383–388, 432. ZHAI Chenxi, LI Hongxing. Direct adaptive fuzzy sliding￾mode control for ball and plate system[J]. Computer simu- [9] 第 5 期 付兴建，等：GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制 ·797·

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