西安电子科技大学：《通信原理》课程教学资源（讲义）第六讲 高斯随机过程

《通信原理》第六讲 §2.3高斯随机过程 高斯过程,也称正态随机过程,是通信领域中最重要的一种过程。在实践中 观察到的大多数噪声都是高斯过程。 定义 若随机过程5(1)的任意n维(n=1,2,)分布都是正态分布,则称它为高 斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下 f (xx,,,xn: Iu,t 2,,t,) B B (2.3-1 式中ak=E[()o2=E[5(t)-a]2B为归一化协方差矩阵的行列式,即 b2…b bn bm2 Bk为行列式B中元素bk的代数余因子;b为归一化协方差函数,且 Eis(-aII5(k)-akI 重要性质 a)高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间 的归一化协方差函数所决定 b)广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的 c)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的,那么它们也是统计独立的。 d)高斯过程经过线性变换(或线性系统)后的过程仍是高斯的 斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量,其一维概率密度函

《通信原理》 第六讲 §2.3 高斯随机过程 高斯过程，也称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。在实践中 观察到的大多数噪声都是高斯过程。 一、 定义 若随机过程ξ (t) 的任意 n 维（n=1,2,...）分布都是正态分布，则称它为高 斯随机过程或正态过程。其 n 维正态概率密度函数表示如下 [ ∑∑ ] = = − − − = n j n k k k k j j j jk n n n n n x a x a B B B f x x x t t t 1 1 1/ 2 1 2 / 2 1 2 1 2 ( )( ) 2 1 exp (2 ) ... 1 ( , ,..., , ,..., ) π σ σ σ σ σ ； （2.3-1） 式中 ak E[ (t k )], k E[ (t k ) ak ] , B 2 2 = ξ σ = ξ − 为归一化协方差矩阵的行列式，即 1 1 1 1 2 21 2 12 1 L M M M M L L n n n n b b b b b b B = B jk为行列式 B 中元素bjk 的代数余因子；bjk 为归一化协方差函数，且 j k j j k k jk E t a t a b σ σ {[ξ ( ) − ][ξ ( ) − ] = 二、 重要性质 a) 高斯过程的 n 维分布完全由 n 个随机变量的数学期望、方差和两两之间 的归一化协方差函数所决定。 b) 广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 c) 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。 d) 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯的。 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函

数可表示为 f(x)= (x-a)2 (2.3-3) 丌O 式中a为高斯随机变量的数学期望,a2为方差。f(x)曲线如图2-3表示。 f(x) 图2-3正态分布的概率密度 由式(2.3-3)和图2-3可知f(x)具有如下特性: (1)∫(x)对称于x=a这条直线。 (2) f(x)dx=1 (2.3-4) 且有 Lf(x)dx=r (3)a表示分布中心,σ表示集中程度,f(x)图形将随着σ的减小而变高 和变窄。当a=0,=1时,称f(x)为标准正态分布的密度函数。 正态分布函数是概率密度函数的积分,即 )=)=.2- (2.3-6) 这个积分无法用闭合形式计算,我们要设法把这个积分式和可以在数学手册 上查出积分值的特殊函数联系起来,一般常用误差函数和互补误差函数: 所谓误差函数,它的定义式为 2 (2.3-7) 它是自变量的递增函数,erf(0)=0,erf()=1,且erf(-x)=-enf(x)。并称

数可表示为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) πσ σ x a f x （2.3-3） 式中 a 为高斯随机变量的数学期望， 2 σ 为方差。 f (x) 曲线如图 2-3 表示。 图 2-3 正态分布的概率密度 由式（2.3-3）和图 2-3 可知 f (x) 具有如下特性： （1） f (x) 对称于 x = a 这条直线。 （2） ∫ ∞ −∞ f (x)dx = 1 （2.3-4） 且有 ∫ ∫ −∞ ∞ = = a a f x dx f x dx 2 1 ( ) ( ) （2.3-5） （3）a 表示分布中心，σ 表示集中程度， f (x) 图形将随着σ 的减小而变高 和变窄。当a = 0 ,σ =1时，称 f (x) 为标准正态分布的密度函数。 正态分布函数是概率密度函数的积分，即 dz z a F x P x x ∫−∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ≤ = − 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) ( ) πσ σ ξ （2.3-6） 这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册 上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用误差函数和互补误差函数： 所谓误差函数，它的定义式为 erf x e dt x t ∫ − = 0 2 2 ( ) π （2.3-7） 它是自变量的递增函数， erf (0) = 0 ， erf (∞) = 1，且 erf (−x) = −erf (x) 。并称

1-erf(x)为互补误差函数,记为erfc(x),即 erfc(x)=1-erf(x)=fe"dt (2.3-8) 它是自变量的递减函数,er/(0)=1,er/(∞)=0,且er/(-x)=2-er(x)。当 x>>1时,(实际应用中只要x>2即可近似),有 经过变量代换,不难得到 当x≥a时 22 F(x)= (2.3-16) 当x≤a时 用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是,它简明的特性有助于今后 分析通信系统的抗噪声性能。 三、高斯白噪声 信号在信道中传输时,常会遇到这样一类噪声,它的功率谱密度均匀分布在 整个频率范围内,即 P(o)= (2.3-17) 这种噪声被称为白噪声,它是一个理想的宽带随机过程。式中n为一常数,单 位是(瓦/赫)。白噪声的自相关函数 R(x)=-06() (2.3-18) 这说明,白噪声只有在τ=0时才相关,而它在任意两个时刻上的随机变量都是 互不相关的

1-erf(x)为互补误差函数，记为 erfc(x),即 erfc x erf x e dt x t ∫ ∞ − = − = 2 2 ( ) 1 ( ) π （2.3-8） 它是自变量的递减函数，erfc(0) = 1，erfc(∞) = 0 ，且erfc(−x) = 2 − erfc(x)。当 x >> 1时，（实际应用中只要 x > 2 即可近似），有 1 2 ( ) x e x erfc x − ≈ π （2.3-9） （ 经过变量代换，不难得到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 当 时 当 时 x a x a erfc x a x a erf F x , 2 2 1 1 , 2 2 1 2 1 ( ) σ σ （2.3-16） 用误差函数或互补误差函数表示 F(x)的好处是，它简明的特性有助于今后 分析通信系统的抗噪声性能。 三、 高斯白噪声 信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在 整个频率范围内，即 2 ( ) 0 n Pξ ω = （2.3-17） 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中 n0 为一常数，单 位是（瓦/赫）。白噪声的自相关函数 ( ) 2 ( ) 0 τ δ τ n R = （2.3-18） 这说明，白噪声只有在τ = 0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是 互不相关的

4R(r) A &(r) 图2-4白噪声的谱密度和自相关函数 如果白噪声又是高斯分布的,我们就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意 两个不同时刻上的取值之间,不仅是互不相关的,而且还是统计独立的。 我们所定义的这种白噪声在实际中是不存在的。但是,如果噪声的功率谱均 匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带,就可以把它视为白噪声

图 2-4 白噪声的谱密度和自相关函数 如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意 两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 我们所定义的这种白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均 匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声