《高等数学》课程PPT教学课件：第七章 8二次曲面

二次由面 、基本内容 二次曲面的定义: 元二次方程所表示的曲面称之 相应地平面被称为一次曲面 讨论二次曲面性状的截痕法 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后 加以综合,从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面

二 次 曲 面 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 一、基本内容

(一)椭球面 ry, 2 2 2 椭球面与「y2 个坐标面 a b 的交线: Z=0 2 2 人2N) 2+ b 0 =0

o z y x （一）椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 椭球面与 三个坐标面 的交线： , 0 1 2 2 2 2      = + = y c z a x . 0 1 2 2 2 2      = + = x c z b y , 0 1 2 2 2 2      = + = z b y a x

椭球面与平面z=1的交线为椭圆 J 2 C -Z C C Z=Z c 同理与平面x=x1和y=y1的交线也是椭圆 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆 同理与平面 x = x1 和 y = y1 的交线也是椭圆.        = = − + − 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) z z c z c b y c z c a x | z | c 1

椭球面的几种特殊情况: (1)a=b,2×y+2=1旋转椭球面 由椭圆2+2=1绕z轴旋转而成 r t y 方程可写为"2 旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面=31(|1Kc)的交线为圆

椭球面的几种特殊情况： (1) a = b, 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z a y a x 旋转椭球面 1 2 2 2 2 + = c z a x 由椭圆 绕 z 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 方程可写为 与平面 z = z1 (| | ) 的交线为圆. 1 z  c

截面上圆的方程 r t y C -Z Z=ZI 2 (2)a=b=c, X+y+“2=1球面 方程可写为x2+y2+

(2) a = b = c, 1 2 2 2 2 2 2 + + = a z a y a x 球面 . 2 2 2 2 x + y + z = a . ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2      = + = − z z c z c a x y 截面上圆的方程 方程可写为

(二)抛物面 十 p 2 6 3(p与q同号) 4 椭圆抛物面 用截痕法讨论:设p>0,q>0 (1)用坐标面xoy(z=0)与曲面相截 截得一点,即坐标原点O(0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点

（二）抛物面 z q y p x + = 2 2 2 2 （ p 与 q 同号） 椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0) 设 p  0, q  0 原点也叫椭圆抛物面的顶点

与平面z=1(x1>0)的交线为椭圆 2 1当不变动时,这种椭 2pz 2gz 圆的中心都在z轴上 2=Z 与平面z=(1<0)不相交 (2)用坐标面xOz(y=0)与曲面相截 截得抛物线 0

与平面 的交线为椭圆. 1 z = z      = + = 1 1 2 1 2 1 2 2 z z qz y pz x 当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上. 1 z z ( 0) z1  与平面 不相交. 1 z = z ( 0) z1  （2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截    = = 0 2 2 y x pz 截得抛物线

与平面y=y的交线为抛物线 它的轴平行于z轴 2q 顶点0,y y=y q (3)用坐标面y0z(x=0),x=x1与曲面相截 均可得抛物线 同理当p<0,q<0时可类似讨论

与平面 的交线为抛物线. 1 y = y      =       = − 1 2 2 1 2 2 y y q y x p z 它的轴平行于 z 轴 顶点       q y y 2 0, , 2 1 1 （3）用坐标面 yoz (x = 0) ， x = x1 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 p  0, q  0 时可类似讨论

椭圆抛物面的图形如下 p0,q>0

z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下： p  0, q  0 p  0, q  0

特殊地:当P=q时,方程变为 (p>0)旋转抛物面 p 2p (由xOz面上的抛物线x2=2pz绕它的轴 旋转而成的) 与平面z=1(x1>0)的交线为圆. x2+y2=2pz1当变动时,这种圆 的中心都在z轴上

特殊地：当 p = q 时，方程变为 z p y p x + = 2 2 2 2 ( p  0) 旋转抛物面 （由 面上的抛物线 绕它的轴 旋转而成的） xoz x 2 pz 2 =    = + = 1 1 2 2 2 z z x y pz 与平面 的交线为圆. 1 z = z ( 0) z1  当 变动时，这种圆 的中心都在 轴上. 1 z z