《工程中的概率方法》Section3Article8

16901讲义笔记20023.15 *多维中的有限体积模型 *无结构网格与有结构网格的比较 让我们回到多维无扩散的能量方程: d+dE形dS=0 假设我们有不均匀,但理论上是长方形的格网 y523*5c+5 就象1维的情形一样,我们定义一个网格平均态: E J1,Ed,.其中,4=1+2/+2的网格面积 42 将守恒定律应用于A11上,得到 A 5a+[印丽E·d+E成5+E.S=0 接下来的问题就是估算每一块表面上流量的线积分。一些选项 平均:EnS=(E)+(E5元AS,其中,=面的单位法线,S2=ab 面的线长度。这导出了中心差分近似

16.901 讲义笔记 2002.3.15 * 多维中的有限体积模型 * 无结构网格与有结构网格的比较 让我们回到多维无扩散的能量方程： 0 V S E dV Ev ndS t ∂ + ⋅ = ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ K K x 假设我们有不均匀，但理论上是长方形的格网： 就象 1 维的情形一样，我们定义一个网格平均态： 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 1 i j i j A i j E Ed A + + + + + + ≡ ∫∫ A，其中， 1 1 , 2 2 i j A = 1 1 , 2 2 i j + + 的网格面积。 + + 将守恒定律应用于 1 1 , 2 2 i j A+ + 上，得到： 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 0 i j bcda i j abc d dE A Ev ndS Ev ndS Ev ndS Ev ndS dt + + + + + ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅= ∫∫∫∫ KK KK KK KK 接下来的问题就是估算每一块表面上流量的线积分。一些选项： 平均： 1 [( ) ( ) ] 2 b E o ab ab a Ev ndS Ev Ev n S ⋅ ≅ + ⋅Δ ∫ KK K K K ，其中， ab n K =ab 面的单位法线， =ab 面的线长度。这导出了中心差分近似。 ab S

=0(对于闭合的网格) A d2+(EF[2ASm+反AS+ASa+万ASa (Ev)g· noRah+=(Ev)x·h2△Sk+(Ev)y·na△Sa+=(Ev)s:na△Sa=0 →穿过的流量不依赖于E0=Enn→中心差分 我们同样也可以按下面的方法实现逆风格式: 对于边界ab:如果下,万1>0,那么,「EF,S=ED1B万1AS 如果vB·n<0,那么,「E·成dS=E2F1B:h2△S 或者,更加简洁地表为: S ET idS=(E+EoJVAB T4B-E-EOvAB nsBlLAsAas 这个有限体积格式同样可以用“无结构的”网格: 在这种情况下,有限体积方法的网格O为: 4+,△F△=0 像以前一样,我们需要估计流量积分和随时间的离散化。 为什么使用无组织的网格呢? *对于复杂的几何研究比较方便 *能够适应局部特征 为什么使用有结构的网格呢? *需要的计算机存储量小(无结构网格需要存储连通性信息) *有结构的方程一般可以利用结构技巧求解→快速求解

[ ] 0( ) 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 1 ( ) 2 i j o ab ab bc bc cd cd da da i j dE A Ev n S n S n S dt = + + + + + ⋅ Δ +Δ+Δ +Δ n S  KK K K K 对于闭合的网格 111 1 () () () () 0 222 2 + ⋅Δ + ⋅Δ + ⋅Δ + ⋅Δ Ev n S Ev n S Ev n S Ev n S E ab ab N bc bc W cd cd S da da KK K K K K KK = ⇒穿过的流量不依赖于 1 1 , 2 2 O i j E E + + = ⇒中心差分 我们同样也可以按下面的方法实现逆风格式： 对于边界 ab：如果 ，那么， 0 AB AB v n⋅ > K K b O AB AB AB a Ev ndS E v n S ⋅ ≅ ⋅Δ ∫ K K KK 如果 ，那么， 0 AB AB v n⋅ < K K b E AB AB AB a Ev ndS E v n S ⋅ ≅ ⋅Δ ∫ K K KK 或者，更加简洁地表为： 1 1 () () 2 2 b E O AB AB E O AB AB AB a Ev ndS E E v n E E v n S ⎧ ⎫ ⋅ = + ⋅− − ⋅ Δ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∫ K K K K K K 这个有限体积格式同样可以用“无结构的”网格： 在这种情况下，有限体积方法的网格 O 为： 0 bca O O abc dE A Ev ndS Ev ndS Ev ndS dt + ⋅+ ⋅+ ⋅= ∫∫∫ K K KK KK 像以前一样，我们需要估计流量积分和随时间的离散化。 为什么使用无组织的网格呢？ * 对于复杂的几何研究比较方便 * 能够适应局部特征 为什么使用有结构的网格呢？ * 需要的计算机存储量小（无结构网格需要存储连通性信息） * 有结构的方程一般可以利用结构技巧求解fl快速求解