《高等数学》课程教学资源：格林公式及其应用（2）

第三节格林公式及其应用(2) 曲线积分与路径无关的定义 曲线积分与路径无关的条件 四三、二元函数的全微分的求积 巴四、小结思考题

庄-、曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有 Px+Q小y B 1 A =Pax+Q小y 0 X 则称曲线积分P十在G内与路径无关 王否则与路径有关 上页

G y o x  + L1 Pdx Qdy 则称曲线积分 + L Pdx Qdy在G 内与路径无关, 一、曲线积分与路径无关的定义  + L2 Pdx Qdy L1 L2  B A  如果在区域G内有 = 否则与路径有关

王二、曲线积分与路径无关的条件 定理2设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分∫P+在G内与路径无关 工工工 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充 要条件是=在G内恒成立 ay ax 上页

二、曲线积分与路径无关的条件 设开区域G 是一个单连通域, 函 数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分 + L Pdx Qdy 在G 内与路径无关 （或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是 x Q y P   =   在G 内恒成立. 定理2

有关定理的说明: (1)开区域G是一个单连通域 生(2)函数P(x,D,2()在G内具有一阶连 续偏导数 两条件缺一不可 工工工 上页

(1) 开区域G是一个单连通域. (2) 函 数P(x, y), Q(x, y)在G 内具有一阶连 续偏导数. 两条件缺一不可 有关定理的说明：

生三、二元函数的全微分求积 定理3设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导 数,则P(x,+Q(x,p)在G内为某一 函数u(x,y)的全微分的充要条件是等式 工工工 aP 00 ay ax 在G内恒成立 上页

三、二元函数的全微分求积 设开区域G 是一个单连通域, 函 数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式 x Q y P   =   在G内恒成立. 定理3

aP 00 若 B(x1,y1) ay ax pldr +ody 4(x0,p)·C(x1,y0) 则 lA(xo yo) 0 工工工 =」P(x,y)d+∫(x,y 或=,Q(x,y+,x) 上页

x Q y P      若  + ( , ) ( , ) 1 1 0 0 B x y A x y 则 Pdx Qdy P x y dx Q x y dy y y x x ( , ) ( , ) 1 0 1 0 =  0 +  1 ( , ) 1 0 • C x y ( , ) 1 1 • B x y x y o ( , ) 0 0 • A x y Q x y dy P x y dx x x y y ( , ) ( , ) 1 0 1 0 或 =  0 +  1

例1计算∫(x2+2xy)dkx+(x2+y)d.其中 上L为由点O(0)到点B(1,的曲线弧y=sin 2 解 aP a =(x+2xy)=2x ay ay OP 00 a0 a → (x2+y)=2x ay ax ax ax 原积分与路径无关 23 上故原式=x2∫(1+y2)py 15 上页

例 1 计算  + + + L (x 2xy)dx (x y )dy 2 2 4 . 其中 L 为由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 2 sin x y  = . x xy x y y P ( 2 ) 2 2 + =   =   x y x x x Q ( ) 2 2 4 + =   =   解 x Q y P   =    ， 原积分与路径无关 故原式   = + + 1 0 1 0 2 4 x dx (1 y )dy . 15 23 =

例2设曲线积分∫2+y(x)d与路径无 L 庄关其中具有连续的导数,且q(0)=0 计算「yk+(x) RR P(x, y)=xy, 2(, y)=y((x), aP a 00 0 ay a, (y)=2xy. ax ax loop(x)=yo(x), aP 00 积分与路径无关 ax 上页

例 2 设曲线积分 +  L xy dx y (x)dy 2 与路径无 关, 其中 具有连续的导数, 且(0) = 0 , 计算 +  (1,1) (0,0) 2 xy dx y (x)dy. 积分与路径无关 x Q y P   =   ， 解 ( ) 2 , 2 xy xy y y P =   =   [ y (x)] y (x), x x Q  =    =   ( , ) , 2 P x y = xy Q(x, y) = y(x)

由pg(x)=2xy→q(x)=x2+c 王由q0)=0,知e=0→ p(r)=x2 1,1) 故「xy2dx+pp(x) (0,0) =∫yt=1 2 上页

由(0) = 0，知c = 0 2  (x) = x . 故  +  (1,1) (0,0) 2 xy dx y (x)dy 由y(x) = 2xy   x = x + c 2 ( )   = + 1 0 1 0 0dx ydy . 2 1 =

士 上四、小结 与路径无关的四个等价命题 条在单连通开区域D上P(x,p,Q(x,y)具有 |件连续的—阶偏导数,则以下四个命题成立 等()在D内Pa+Q小与路径无关 /价(2)P+g=0闭曲线CcD (3)在D内存在U(x,y)使M=P+Q 命题 (4)在D内, aP aQ 上页下页邀回

四、小结 与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y), Q(x, y)具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.  + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关  + =  C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx + Qdy x Q y P D   =   (4) 在 内, 等 价 命 题