《理工科代数基础》第五章 矩阵的 Jordan标准形

1209 作业: 1733,35(1,3),36 看书 Pz- P B B 127 140 155 164 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅

1 看书： P P 127 140 − 177 P 33, 35 (1, 3), 36. 作业： P P 155 164 − 答疑时间：周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅。 1209

§5矩阵的 Jordan标准形 设f()=(-)"(-2)"…(-2), …,互异,n+n+…+n=n. 当o不可对角化时,存在基i,2,…,n 使o(G,2,,n)=(1,2…E J J J= J(2) 其中 Jn)

2 J n n n ( , , , ) ( , , , ) , , , 1 2 1 2 1 2               使 = 当 不可对角化时，存在基             = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 n s n n s J J J J     ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 s n s n n A 设f  =  −   −    −  , , , . 1  s 互异 n1 + n2 ++ ns = n 其中 §5 矩阵的Jordan标准形

Jn(4) 定义18:形如 的矩阵称为/ rdan块

3 i i n i i i i i i n i J                                    = 1 1 1 1 1 1 ( )         . 1 1 定义18：形如 的矩阵称为Jordan块                 

Example 2100 2210求可逆阵P使 设A 0220PAP为/ ordan形 4022 解:P() 2x-2-10 1/-4 2-20=( 4 2)=0 2-2 1=2 A的, ordan标准形只有一个大块(四重根)

4 1 2 1 0 0 2 2 1 0 0 2 2 0 4 0 2 2 P A P AP Jordan −       =   −     求可逆阵 使 设 为 形 2 1 0 0 2 2 1 0 0 2 2 0 4 0 2 2 PA I A       − − − − − = − = − − − − 解： （ ） Example1: 4 = − = ( 2) 0  A Jordan 的 标准形只有一个大块（四重根） =2

解(A-2D)X=0, 100 010 rank(a-21=r( 0204 )=2 200 020 dim2=4-2=2 A的标准形中有两个 Jordan块 2 20 20 2)5

5  = − = dim 4 2 2 V=2 0 1 0 0 2 0 1 0 ( 2 ) ( ) 2 0 2 0 0 4 0 2 0 rank A I r       − = =   −     1 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 2 J J         = =                 ， ， 解(A−2I)X = 0, A Jordang 的 标准形中有两个 块

PAP=J,→P(-2)P=(J-2) r(A-2)=r(J-21),k=1,2, A-21 0204 0 0000 r(A-21)=2 20 02 10 r(A-2I)2=r 0000 =1

6 1 1 , ( 2 ) ( 2 ) , k k P AP J P A I P J I − − =  − = − ( 2 ) ( 2 ) , 1,2, k k  − = − = r A I r J I k 0 1 0 0 2 0 1 0 2 0 2 0 0 4 0 2 0 A I     − =    −      2 2 0 1 0 0 0 0 0 ( 2 ) 4 0 2 0 0 0 0 0 r A I r     − =   − −      r A I ( 2 ) 2 − = = 1

r(J-21)2=1 01 01 r(1-2D)2=r( 00 2 01 7(J2-21 0 0

7 2 1 0 1 0 1 ( 2 ) ( 0 0 0 r J I r     − =         2 )=1， 2 2 0 1 0 ( 2 ) ( 0 1 0 r J I r     − =         2 )=0， 2  − = r J I ( 2 ) 1

21 记P=(PP2PP PAP= 2100 A(P,P,P,P)=(P,B,B,B)0210 0020 有AR=2R,A=2 0002 4P2=B1+2P2, 也即(A-2)=0, AB=B2+2P3, (A-2DB=1, 解(A-21)X=0, (A-2)3=P

8 . 2 2 2 1 2 1 1             = − P AP ( ). 记 P = P1 P2 P3 P4 . 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 1 0 2 1 0 0 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 3 4 1 2 3 4             A P P P P = P P P P 2 , 2 , 2 , 2 . 3 2 3 2 1 2 1 1 4 4 AP P P AP P P AP P AP P = + = + 有 = = 解(A−2I)X = 0, ( 2 ) , ( 2 ) , ( 2 ) 0, 3 2 2 1 1 A I P P A I P P A I P − = − = 也即 − =

0100)(0100 20102010 X 0-2000000 000 4020)(0000 0 解(A-2D)X=X1 P=X(),P=X() 01001 20100 →)Ⅹ (2) 0-200-2 0100 X=0+C1和+C2X 0102 取C1=0cC2=2,即x(2)=1 P=X(2)

9             =             −  =             →             − 1 0 0 0 , 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 4 0 2 0 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 (1) 2 (1) X1 X (1) 2 2 (1) 1 1 (2) 0 (1) 1 0 0 1 0 , 0 0 1 0 4 0 2 0 0 0 2 0 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ( 2 ) X X C X C X A I X X + +             =             → =             − − 解 − =           = = = 2 0 1 0 0, 2, (2) 取C1 C2 即 X1 (1) (1) 1 1 4 2  = = P X P X , (2)  = P X 2 1

解 01000 (A-2)X=X2,20101 (3) 0-2000 1-2000 于是得 40202 P=(,P2,B3,P4) P=X(3) =(X,X(2),X1,X2) 10 010 000 PAP 200 2 0201 2

10             → =             − 0 0 0 4 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 1 (3) X1 . 2 2 2 1 2 1 1             = − P AP ( 2 ) , (2) X X1 A− I = 解 . 0 2 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1             − = (3) 1 2 3 4  = P X 3 1 (1) (2) (3) (1) 1 1 1 2 ( , , , ) ( , , , ) P P P P P X X X X = = 于是得