内蒙古工业大学：《控制系统计算机仿真》课程教学资源（PPT课件讲稿）第3章 控制系统的数学描述与建模

CH3、控制系统的数学描述与建模 口控制系统的数学模型在控制系统的研究 中有着相当重要的地位,要对系统进彳 仿真处理,首先应当知道系统的数学模 型,然后才可以对系统进行模拟。同样, 如果知道了系统的模型,才可以在此基 础上设计一个合适的控制器,使得系统 响应达到预期的效果,从而符合工程实 际的需要

CH3、控制系统的数学描述与建模 ❑控制系统的数学模型在控制系统的研究 中有着相当重要的地位，要对系统进行 仿真处理，首先应当知道系统的数学模 型，然后才可以对系统进行模拟。同样， 如果知道了系统的模型，才可以在此基 础上设计一个合适的控制器，使得系统 响应达到预期的效果，从而符合工程实 际的需要

工业生产中的实际系统绝大多数是物理系统,系 统中的变量都是一些具体的物理量,如电压、电 流、压力、温度、速度、位移等等,这些物理量 是随时间连续变化的,称之为连续系统;若系统 中物理量是随时间断续变化的,如计算机控制、 数字控制、采样控制等,则称为离散(或采样)系 统。采用计算机仿真来分析和设计控制系统,首 要问题是建立合理地描述系统中各物理量变化的 动力学方程,并根据仿真需要,抽象为不同表达 形式的系统数学模型

工业生产中的实际系统绝大多数是物理系统，系 统中的变量都是一些具体的物理量，如电压、电 流、压力、温度、速度、位移等等，这些物理量 是随时间连续变化的，称之为连续系统；若系统 中物理量是随时间断续变化的，如计算机控制、 数字控制、采样控制等，则称为离散(或采样)系 统。采用计算机仿真来分析和设计控制系统，首 要问题是建立合理地描述系统中各物理量变化的 动力学方程，并根据仿真需要，抽象为不同表达 形式的系统数学模型

口在线性系统理论中,一般常用的数学 模型形式有: 传递函数模型(系统的外部模型)、状 态方程模型(系统的内部模型)、零极 点增益模型和部分分式模型等。这些模 型之间都有着内在的联系,可以相互进 行转换

❑在线性系统理论中，一般常用的数学 模型形式有： 传递函数模型（系统的外部模型）、状 态方程模型（系统的内部模型）、零极 点增益模型和部分分式模型等。这些模 型之间都有着内在的联系，可以相互进 行转换

第一节系统的分类 按系统性能分:线性系统和非线性系统;连续系统和 离散系统;定常系统和时变系统;确定系统和不确定 系统。 1、线性连续系统:用线性微分方程式来描述,如果微分 方程的系数为常数,则为定常系统;如果系数随时间 而变化,则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要 以线性定常连续系统为主 2、线性定常离散系统:离散系统指系统的某处或多处的 信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来 描述。 3、非线性系统:系统中有一个元部件的输入输出特性为 非线性的系统

❖ 按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和 离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定 系统。 1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分 方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间 而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要 以线性定常连续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的 信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来 描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为 非线性的系统。 第一节 系统的分类

第二节线性定常连续系统的微分方程模型 微分方程是控制系统模型的基础,一般来讲,利用机 械学、电学、力学等物理规律,便可以得到控制系统 的动态方程,这些方程对于线性定常连续系统而言是 种常系数的线性微分方程 令如果已知输入量及变量的初始条件,对微分方程进行 求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此对系 统进行性能分析。 令通过拉氏变换和反变换,可以得到线性定常系统的解 析解,这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程, 解析解是精确的,然而通常寻找解析解是困难的 MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解 法函数,不仅适用于线性定常系统,也适用于非线性 及时变系统

❖ 微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机 械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统 的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是 一种常系数的线性微分方程。 ❖ 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行 求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系 统进行性能分析。 ❖ 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解 析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程， 解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。 MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解 法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性 及时变系统。 第二节 线性定常连续系统的微分方程模型

设线性定常系统输入、输出量是单变量,分别为 u(t)、y(t),则两者间的关系总可以描述为线性常系 数高阶微分方程形式 loy+a,y (n-1) +…+an1y+any=b4(m) +…+bn(3-1) 式中, dy( y为yt)的价导数,a′,j=0,1,…,n du(t) u为u(t)的阶导数,"=h,i=0,1, a1为y(t)及其各阶导数的系数,j=0,1, n b为u()及其各阶导数的系数,i=0,1,…,m; n为系统输出变量导数的最高阶次;m为系统输入变 量导数的最高阶次,通常总有m≤n

设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为 u(t)、y(t)，则两者间的关系总可以描述为线性常系 数高阶微分方程形式 (3-1) 式中， y (j)为y(t)的j阶导数， ，j=0，1，…，n； u (i)为u(t)的i阶导数， ，i=0，1，…，m； aj为y(t)及其各阶导数的系数，j=0，1，…，n； bi为u(t)及其各阶导数的系数，i=0，1，…，m； n为系统输出变量导数的最高阶次；m为系统输入变 量导数的最高阶次，通常总有m n。 a y a y a y a y b u bm u m n n n n + + + −  + = + + 0 ( ) 1 ( −1)  1 0 ( )  j j dt d y t y ( ) = i i dt d u t u ( ) = 

对式(3-1)的数学模型,可以用以下模型参数形式表征: 输出系数向量A=[ao,a1,…,anl,n+1维 输入系数向量B=[b,b1,…,bm,m+1维 输出变量导数阶次,n 输入变量导数阶次,m 有了这样一组模型参数,就可以简便地表达出一个连续 系统的微分方程形式 微分方程模型是连续控制系统其它数学模型表达形式的 基础,以下所要讨论的模型表达形式都是以此为基础发 展而来的

对式(3-1)的数学模型，可以用以下模型参数形式表征： 输出系数向量A＝[a0，a1，…，an ]，n十1维 输入系数向量B＝[b0，b1，…，bm ]，m十1维 输出变量导数阶次，n 输入变量导数阶次，m 有了这样一组模型参数，就可以简便地表达出一个连续 系统的微分方程形式。 微分方程模型是连续控制系统其它数学模型表达形式的 基础，以下所要讨论的模型表达形式都是以此为基础发 展而来的

第三节传递函数描述 连续系统的传递函数模型 将式(3-1)在零初始条件下,两边同时进行拉氏变换, 则有连续系统的传递函数如下: G(s)= Y(S) (bos"+…+bn) U(s)(aoS″+a1s"+…+an1S+an 对线性定常系统,式中s的系数均为常数,且a0不等于零 这时系统在 MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构 成的两个向量唯一地确定出来,这两个向量分别用num 和den表示;num=[bo,b1…,bm] den=[a0Q1…,anl 注意:它们都是按S的降幂进行排列的

对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a0不等于零， 这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构 成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den表示：num=[b0 ,b1 ,…,bm] den=[a0 ,a1 ,…,an ] 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。 第三节 传递函数描述 一、连续系统的传递函数模型 将式(3-1)在零初始条件下，两边同时进行拉氏变换， 则有连续系统的传递函数如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 n n n n m m a s a s a s a b s b U s Y s G s + + + + + + = = − −  

当a=1时,分子多项式成为 S+a1S+…+an1S+a 称为系统的首一特征多项式,是控制系统常用的标准表 达形式,于是相应的模型参数中,分母系数向量只用 n维分量即可表示出,即 A=a an],n维

当a0 ＝1时，分子多项式成为 称为系统的首一特征多项式，是控制系统常用的标准表 达形式，于是相应的模型参数中，分母系数向量只用 n维分量即可表示出，即 A＝[a1，a2，…，an ]，n维 ( ) 1 1 1 n n n n s + a s + + a − s + a − 

、零极点增益模型 ☆零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式, 其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解 因式处理,以获得系统的零点和极点的表示形式 S-二1)(S y-2 G(S=K (S-P1)(S-P2).(S-pn) K为系统增益,乙为零点,p为极点 在 MATLABI中零极点增益模型用[zp,K矢量组表示。即: z=[z1,z2,…,zm p=lp1, p2, ...,pn K=K 函数t2z0可以用来求传递函数的零极点和增益

❖ 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式， 其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解 因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 ( )( )...( ) ( )( )...( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p s z s z s z G s K − − − − − − = 在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] 函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。 二、零极点增益模型 K为系统增益，zi为零点，pj为极点