《半经典微局部分析 Semiclassical Microlocal Analysis》课程教学资源（英文讲义）量子混沌与分形不确定性原理

量子混沌与分形不确定性原理金龙清华大学中科大短期课程，2021年1月

量子混沌与分形不确定性原理 金龙 清华大学 中科大短期课程，2021 年 1 月

目标与计划目标：简要介绍量子混沌中的一个新工具“分形不确定性原理”（FractalUncertaintyPrinciple，FUP）以及其应用。计划：1.1.9:引论，一个离散模型2.1.11:双曲曲面的预备知识3.1.13:紧双曲曲面的控制问题Harmonic MicrolocalNunberanalysisanalysistheoryFractalResults inCombinatoricsuncertaintyquantum chaosprincipleHyperbolicFractaldynamicsstructure

目标与计划 I 目标：简要介绍量子混沌中的一个新工具“分形不确定性原 理”（Fractal Uncertainty Principle, FUP）以及其应用。 I 计划： 1. 1.9: 引论，一个离散模型 2. 1.11: 双曲曲面的预备知识 3. 1.13: 紧双曲曲面的控制问题

1.引论：量子混沌中的一些问题

1. 引论：量子混沌中的一些 问题

经典混沌经典混沌系统指“对初值敏感”的动力系统，在物理，化学，生物，气象学，经济学等各领域中都有例子。Kepler观测到月球绕地球轨道的不规则变化，Newton，Hill解释为太阳的引力作用，三体问题。Poincaré1903：在某些动力系统中初始状态的小的改变可以在最终结果中造成很大影响。Lorenz1972：大气模型中的例子，“蝴蝶效应

经典混沌 I 经典混沌系统指“对初值敏感”的动力系统，在物理，化学， 生物，气象学，经济学等各领域中都有例子。 I Kepler 观测到月球绕地球轨道的不规则变化，Newton，Hill 解释为太阳的引力作用，三体问题。 I Poincaré 1903：在某些动力系统中初始状态的小的改变可以 在最终结果中造成很大影响。 I Lorenz 1972：大气模型中的例子，“蝴蝶效应

量子混沌从经典系统到量子系统：量子化，Bohr对应原理..Einstein1917：经典混沌系统的量子化会产生什么结果？Guizwiller1992:"Chaoslurksinthesmooth,wave-likequantum worlds

量子混沌 I 从经典系统到量子系统：量子化，Bohr 对应原理. I Einstein 1917：经典混沌系统的量子化会产生什么结果？ I Guizwiller 1992：“Chaos lurks in the smooth, wave-like quantum worlds

1.1“基本”例子：台球系统

1.1 “基本”例子：台球系统

1.1“基本”例子：台球系统

1.1 “基本”例子：台球系统

经典台球系统这实际是三维区域S*2上的动力系统：在有界区域2中轨迹（的投影）为在边界反射的折线，例如下面椭圆区域的示意

经典台球系统 这实际是三维区域 S ∗Ω 上的动力系统：在有界区域 Ω 中轨迹 （的投影）为在边界反射的折线，例如下面椭圆区域的示意

量子台球系统对应的我们研究2上Schrodinger方程描述的量子的演化：(iot + △)u(t, x) = 0.u(0, x) = uo(x),或者波方程描述的波的演化：(α2 - △)u(t, x) = 0,u(0, x) = uo(x),O,u(0, x) = ui(x)

量子台球系统 对应的我们研究 Ω 上 Schrödinger 方程描述的量子的演化： (i∂t + ∆)u(t, x) = 0, u(0, x) = u0(x), 或者波方程描述的波的演化： (∂ 2 t − ∆)u(t, x) = 0, u(0, x) = u0(x), ∂tu(0, x) = u1(x)

特征值与特征函数最基本的问题是关于2上Laplace算子（比如Dirichlet条件下）特征值（能级/频率）：01≤..≤>≤...70■特征函数（定态/波形）：lu(x)2dx= 1.=0000000000

特征值与特征函数 最基本的问题是关于 Ω 上 Laplace 算子（比如 Dirichlet 条件下） I 特征值（能级/频率）： 0 < λ0 < λ1 ≤ · · · ≤ λj ≤ · · · % ∞ I 特征函数（定态/波形）： −∆uj = λ 2 j uj , uj |∂Ω = 0, Z Ω |uj(x)| 2 dx = 1