智能系统：基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的反向三I算法

第7卷第6期 智能系统学报 Vol.7 No.6 2012年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2012 D0I:10.3969/j.i8sn.1673-4785.201205029 网络出版t地址：htp://www.cnki.net/kcma/detail/23.1538.TP.20121116.1703.013.html 基于Schweizer--Sklar三角范数簇诱导的 剩余蕴涵簇的反向三I算法 罗敏霞，桑脱，何华灿2 (1.中国计量学院理学院，浙江杭州310018：2.西北工业大学计算机学院，陕西西安710072) 摘要：Schweizer-Sklar三角范数簇具有柔化性，使得由其构造的逻辑系统在模糊推理中具有良好的属性.将 Schweizer-Sklar三角范数簇与模糊推理反向三I算法结合起来，给出基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的刹余蕴 涵簇的反向三I算法和a-反向三I算法，并给出对应三I解的表达式.结合Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余 蕴涵簇的特点，讨论当参数取特殊值时对应的特殊蕴涵算子一→p,,→。，一→p的反向三I算法及对应三I解的表达 式.提供一种柔化性的模糊推理反向三I算法. 关键词：模糊推理；反向三I算法；Schweizer--Sklar三角范数簇；FMP问题；FMT问题 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：16734785(2012)06049407 The reverse triple I algorithms based on a class of residual implications induced by the family of Schweizer-Sklar t-norms LUO Minxia',SANG Ni',HE Huacan2 (1.College of Sciences,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China;2.School of Computer Science,Northwestern Polytech- nical University,Xi'an 710072,China) Abstract:Since the family of Schweizer-Sklar t-norms is flexible,they have good characteristics for fuzzy reasoning based on the logic systems which are based on these operators.Combining the fuzzy reasoning reverse triple I algo- rithm and a class of residual implications induced by the family of Schweizer-Sklar t-norms,the reverse triple I al- gorithms and o-reverse triple I algorithm are proposed,as well as the corresponding expressions of reverse triple I solutions and a-reverse triple I solutions.Combined with the characteristics of the class of residual implications in- duced by the family of Schweizer-Sklar t-norms,this paper discusses the reverse triple I algorithm based on, ,when the parameter takes some special values,and the corresponding expressions of reverse triple I solutions are proposed.A flexible fuzzy reasoning reverse triple I algorithm is provided. Keywords:fuzzy reasoning;reverse triple I algorithm;Schweizer-Sklar t-norms;fuzzy modus ponens;fuzzy modus tollens 模糊推理作为模糊控制理论的基础，也是近似 FMT:给定规则A→B并输入B·,输出A”. 推理的一个分支，近年来受到国内外学者的广泛关 其中A,A·∈F(X),B,B*∈F(Y),F(U)表示 注).模糊推理中的基本推理模型是推理形式模糊 论域U的全体模糊子集构成的集合. 假言推理(FMP)问题和模糊反驳推理(MT)问 王国俊教授首先提出了模糊推理的全蕴涵三I 题2： 算法2]，其基本思想如下： FMP:给定规则A→B并输入A”,输出B·. 已知A∈F(X)和B∈F(X),并且A·∈F(X) (或者B*∈F(Y)),寻求最优的B*∈F(Y)(或者 收稿日期：201205-16.网络出版日期：2012-11-16. A∈F(X)),使得A→B最大程度地支持A→B,即 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61273018)：浙江省自然科学 基金资助项目(Y1110651). (A(x)+B(y)→(A'(x)+B*(y),x∈X,y∈Y, 通信作者：罗敏霞.E-mail:minxialuo(@163.com (1)

第6期 罗敏膜，等：基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的反向三I算法 ·495· 具有最大的可能值， 1 预备知识 宋士吉和吴澄在文献[3]中首次提出模糊推理 的反向三I算法.反向三I算法的基本思想如下： 定义1[6] Schweizer-Sklar三角范数簇为[0， 在式(1)成立的前提下，寻求最优的B·∈ 1]上含参数m的三角范数⑧m:[0,1]2→[0,1]，且 F(Y)(或者A·∈F(X)),使得A·→B最大程度支 对任意x,y∈[0,1]，m∈R, 持A→B,即式(2)有最大可能值： 0V(x+y-1),m≠0， (4*(x)→B*(y)+(A(x)→B(y)x∈X,y∈Y x☒my= xY, m=0. (2) 特别地，当m=+∞时， -反向三I算法的基本思想如下： 在式(1)成立的前提下，对于给定的a∈[0， x®y=®r=0,” xΛy,￥Vy=1(突变积) 其他. 1],寻求最优的B·∈F(Y)(或者A·∈F(X)),使 当m=1时，x⑧my=x⑧y=(x+y-1)V0 得A·→B*最大程度支持A→B,即式(3)成立. (Lukasiewizc三角范数)；当m=0时，x⑧my= (A(x)→B”(y))→(A(x)+B(y))≥a, x⑧py=y(乘积三角范数)；当m=-o时，x⑧my= xeX,y∈Y (3) x☒wy=x八y(极小三角范数) 以往的三I算法及反向三I算法大都是选取不 定义2[6列] 由Schweizer--Sklar三角范数簇诱导 含参数的由左连续三角范数诱导的剩余蕴涵算子. 的剩余蕴涵簇→m:[0,1]2→[0,1]，且对任意 文献[4]中给出了基于Lukasiewizc蕴涵的反向三I x,y∈[0,1]，meR, 解的正确表达式.文献[5]讨论了基于某些常见蕴 涵算子的反向三I算法.本文将寻求更具一般性的 1Λ(1-x+y)立，m≠0： x→my= 含参数的蕴涵算子，并与模糊推理反向三I算法结 (1 A X m=0. 合起来，为实际应用提供更具一般性的模糊推理算 为避免歧义，当my. 献[11]中给出了基于Schweizer-Sklar三角范数簇的 命题1 Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的蕴 三I算法. 涵簇关于第1变元和第2变元是左连续的，当m> Schweizer-Sklar三角范数簇具有柔化性，使得 0时，关于第1变元是连续的 由其构造的逻辑系统在模糊推理中具有良好的属 证明当m>0时， 性.本文将模糊推理反向三I算法与由Schweizer- 1， x≤y; Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇结合起来，并 x十my= 讨论基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴 1(1-x+y)六，x>y 涵簇的反向三I算法和-反向三I算法，并给出对 根据连续性定义很容易得出→m关于x、y都是连 续的 应三I解的表达式.根据Schweizer-Sklar三角范数簇 诱导的剩余蕴涵簇的特点，讨论当参数取特殊值 当m=0时，x一={4，>y0. x≤y 取y=0, 时，所对应的特殊蕴涵算子→p、、→c、→p的反 向三I算法，同时讨论对应的三I解的表达式， lim(x一→n0)=0≠(0→n0)=1,因此→m关于x不是

·496 智能系统学报 第7卷 右连续的.对任意yo∈[0,1]，lim(x一→my)= 于第1个变元不增，且关于第2变元不减，则式 y0 m（)=(x一0），因此.关于y左连续同样可 (2)的最大值是 M(x,y)=(A(x)+0)+(A(x)→B(y), 证→n关于x左连续 若+关于第1个变元和第2变元都是左连续的，则 x≤y; FMP-反向三I解是惟一的， 当my=0: 定理1假设FMP问题中的蕴涵算子是 (1-x0+y)六，x>y>0. Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇，那 取y=0,lim（x→n0)=0≠(0→n0)=1,因此 么FMP-反向三I解的表达式为：对x∈X,y∈Y, →m关于x不是右连续的.对任意y%∈[0,1]， im{(A(x)→B(y）)®A(x)}, im(xy）=lim(1-x”+y)六=(xno),因此， X5,（x）+X(x),m≤0； B·(y)= →m关于y左连续同样可证→m关于x左连续 inf{(A(x)→B(y)☒A*(x)V0}, Xs,e（x）+K级（x),m>0. 2基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱 式中： 导的剩余蕴涵簇的FMP-反向三I E,={x∈X1m≤0，A(x)→B(y)≠1}， 算法 E2={x∈XIm>0,(1-(A*(x))m)V (A(x)→B(y)0,(1-(A(x))≤A(x)+B(y), ）={A(》+(d→B》)片，m>0,1-4()>A)→B) 对x∈X,y∈Y作下面几种情形讨论： B(y)时.此时M(x,y）=1,那么A(x)→B(y)≤ 1)当m=0时.此时M(x,y)=1,那么A·(x)A(x)→B(y).若A(x)→B(y）=1,则B(y)=1. →B*(y)≤A()-→B(y).若A(x)→B(y）=1,则若A(x)-→B(y)≠1，(1-(A(x)+(B(y))≤ B(=1.若到-8()1具0≤a(e)4B.所以 B(y),所以B(y)≤A·(x)×(A(x)→B(y)= B(y）≤(A(x)→B(y)+(A(x)"-1)÷= (A(x)→B(y)⑧A"(x),则B'(y)=imf (A(x)→B(y))☒A(x), 4B配)*1 则B()=1(A()→B(y)⑧ {(A(x)→B(y)⑧A(x). (1-(4"(国)m)m≤A()-B() 2)当m0且(1-(A°(x)")÷>A(x)→ B(y)=1.若A(x)→B(y)≠1，(1-(A·(x)+ B(y)时.此时M(x,y)=(A（x)+（A(x)→ (B*(y))≤A(x)→B(y),所以 B(y))0且(1-(A·（x)))a≤A(x)+A·(x)≠0，那么

第6期 罗敏膜，等：基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的反向三I算法 ·497· A“(x)→B·(y)=1-(A(x))m=A·(x)0,则 F(X)中使式(2)取最大值的最小模糊集，则称A· B(y)=0. 为MT-反向三I解. 综上4种情形，定理1中的表达式是MP-反 引理21若二元算子：[0,1]2→[0,1]关 向三I解 于第1变元不增，则式(2)的最大值是 推论1假设FMP问题中的蕴涵算子是突变蕴 N(x,y)=(1→B(y))→(A(x)+B(y), 涵，那么FP-反向三I解B”的表达式为：对x∈X, 若→关于第1变元连续，则FT反向三I解是惟一的. y∈Y,B*（y）=im{A(x)→oB(y)xg,(x)+Xs(x),其 由引理2和命题1，下面仅讨论当Schweizer- 中，E,={xeXA(x)=1且A(x)→B(y)≠1} Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的参数m>0 推论2（文献[4]的定理2.1）假设MP问题 时，对应的MT问题反向三I解的表达式， 中的蕴涵算子是Lukasiewizc蕴涵，那么FMP-反向 定理2假设T问题中的蕴涵算子是 三I解B·的表达式为：对x∈X,y∈Y,B·(y)= Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇(m> i1(A(x)→B()+A'(x)-1)V0X,(x)+ O),FMT-反向三I解A的表达式为：对x∈X,y∈Y, A(x)={(A(x)-B(y)B(y)A1X.（y), Xs（x),其中E,={x∈XI（1-A*(x))V (A(x)→B(y)0,B*(y)V(A(x)→B(y))0,由引理2知，式(2)的最大值 推论3假设FMP问题中的蕴涵算子是 是：对任意x∈X,y∈Y,有 Goguen蕴涵，那么MP-反向三I解B·的表达式 1,B*(y)≤A(x)→By): 为：对x∈X,y∈Y,B(y）=imf{(A(x)+cB(y)× 黑E N(x,y）={(1-(B*(y)m+(A(x)→By)), A(x){XE,（x)+Xe(x),其中，E,={x∈X1A(x) B(y)>A(x)→By) →cB(y)≠1}. 对x∈X,y∈Y,作下面几种情形讨论： 推论4假设MP问题中的蕴涵算子是Gdel 1)当m>0,B·(y)≤A(x)→B(y)时，此时 蕴涵，那么MP反向三I解B*的表达式为：对x∈ N(x,y)=1,那么A"(x)→B(y)≤A(x)→B(y) X,y∈Y,B*(y)=it{(A(x)→B(y)AA*(x)i 若A(x)→B(y)=1,则A·(x)=0.若A(x)→ XE,（x)+Xe(x),其中，E,={x∈XIA(x)→pB(y）≠ B(y)≠1，(1-(A*(x))+(B(y))≤A(x)→ 1. B(y),所以A（x)≥（1-(A(x)→B(y))m+ 注释1推论1~4分别是定理1中令Schwei- (B·(y)))=(A(x)→B(y)→B*(y),则A*(x)= zer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的参数m取 +∞、1、0、-∞.本文中的推论2是文献[4]中的 gm(a()B()一→B(). 定理2.1.文献[5]的定理1.1.5给出了基于 2)当m>0,B·(y)>A(x)→B(y)时，此时 Goguen蕴涵的FMP-反向三I解的表达式存在一些 N(x,y)=(1-B*(y)+(A(x)→B(y))),即 疏漏：如果对给定的y∈Y,存在x∈X,使得 (1-(A(x)→B*(y))+(A(x)→B(y)))六= A(x)+cB(y)=1且A°(x)>0,此时反向三I解 (1-(B*(y))+(A(x)+B(y)m),那么 B(y)=1,但由文献[5]的定理1.1.5得到的 A·(x)B·(y)=B·(y).若B·(y)=1,则A·(x)= B*(y)=imf{(A(x)},E,={x∈XIA*(x)>0{,一般 0.若B*(y)≠1，则A(x)=1. 情祝下，B*(y)≠1 综上2种情形，定理2中的表达式是MT-反向三 3 基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导 I解 推论5假设MT问题中的蕴涵算子是突变蕴 的剩余蕴涵簇的MT-反向三I算法 涵，那么FMT-反向三I解A·的表达式为：对x∈X, 本节讨论的是当Schweizer-Sklar三角范数簇诱 y∈Y,A*(x)=XE.（y).其中，E={y∈YIB*(y)≠ 导的剩余蕴涵簇的参数m>0时的情形 1,A(x)+oB(y)≠1. 定义43)假设集合X和Y是非空集合，A∈ 推论6（文献[4]的定理2.2）假设FMT问题 F(X),B,B·∈F(Y).在FMT问题中，如果A·是 中的蕴涵算子是Lukasiewizc蕴涵，那么FMT-反向

·498. 智能系统学报 第7卷 三I解A的表达式为：对x∈X,yeY,A·（x)= A*(x)→B·(y)≤a0=0,即A“(x)→B·(y)=0, 咒(1-(A(x)→B(y)+B(y)A1X.(y), 则B(y)=0;如果A(x)→B(y)≠0，(1-(A(x) 其中，E.={y∈YIB·(y)V(A(x)→B(y)0时的 A'(x)),B(y）=int{ax→((A(x)→B(y)☒ 情形. A()B()sa 定义53)假设集合X和Y是非空集合，A, A(x). A·∈F(X),B∈F(Y).在FMP问题中，如果B*是 若m>0,(1-(A(x))+(B·(y)m)≤(1- F(Y)中满足式(3)的最大模糊集，则称B·为FMP. a+(A(x)→B(y)),B*（y）≤(A(x)→ α-反向三I解， B(y)"+(A'(x)-a)品=&→(A(x)→ 定义6)假设集合X和Y是非空集合，A∈ B(y)⑧A·(x)),则 F(X),B,B∈F(Y).在MT问题中，如果A*是 B*(y）=it{a→((A（x)+B(y)☒ F(X)中满足式(3)的最小模糊集，则称A·为FMP- 4()B*(y). 推论10假设FMP问题中的蕴涵算子是Gdel 若m<0,如果A(x)+B(y)=0,那么 蕴涵，那么FMP--反向三I解B。的表达式为：对

第6期 罗敏膜，等：基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的反向三I算法 ·499… x∈X,y∈Y A:(x)supla-(A(x)B(y))+B"(y)E(y), B,(y）=i(A()→B(y)）AA(x)X,(x). 式中：E.={y∈YIA(x)→B(y)0时，对 5结束语 应的MT问题的a-反向三I解的表达式. 本文将Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余 定理4假设MT问题中的蕴涵算子是 蕴涵簇与模糊推理反向三I算法结合起来，给出反 Schweizer--Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇 向三I算法、a-反向三I算法及对应的三I解的表达 (m>0),FMT-a-反向三I解A的表达式为：对 式.结合Schweizer--Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴 x∈X,y∈Y, 涵簇的特点，讨论当参数取某些特殊值时的反向三 A:()=(4)→B)→(BG)⑧a)y), I算法，并给出对应三I解的表达式.文献[5]定理 其中，E={y∈Y1m>0,A(x)→B(y)B*(y),即B(y)0,(1-(A(x)m+(B·(y)m)≤(1- [2]王国俊.模糊推理的全蕴涵三I算法[J].中国科学：E a+(A(x)→B(y)),A°(x)≥((B(y)m+ 辑，1999,29(1)：43-53. a-(A(x)+B(y))=(A(x)→B(y)→ [3]宋世吉，吴澄.模糊推理的反向三I算法[J].中国科 学：E辑，2002,32(2)：230-246. (B”(y)®a),则A'(x)=Ae<a 、{(A（x)→ [4]LIU H W.The correct expressions of reverse triple I method B*(yr)<1 for fuzzy reasoning[J].Fuzzy Information and Engineering, B(y))→(B*(y)☒)}. 2009,62(2):1489-1499. 综上，定理4的表达式是FMT-a-反向三I解. [5]彭家寅，侯健，李洪兴.基于某些常见蕴涵算子的反向 推论11假设FMT问题中的蕴涵算子是突变 三I算法[J].自然科学进展，2005,15(4)：404410. 蕴涵，那么FMT-a-反向三I解A。的表达式为：对 [6]SCHWEIZER B,SKLAR A.Associative functions and sta- xeX,y∈Y, tistical triangle inequalities[J].Publicationes Mathematicae Debrecen,1961,8:169-186. A。(x）=XE.（y）, [7]SCHWEIZER B,SKLAR A.Associative functions and ab- 式中：E.={A(x)→B(y)<a,B·(y)<1,当 stract semigroups[].Publicationes Mathematicae Debre- B·(y）=1,A(x)→oB(y)<a时FMT-a-反向三I解 cen,1963,10:69-81. 不存在。 [8]WHALEN T.Parameterized R-implications [J].Fuzzy Sets and Sy9tems,2003,134(2):231-281. 推论12（文献[4]的定理3.2）假设FMT问 [9]张小红，何华灿，徐扬.基于Schweizer--Sklar T-范数的模 题中的蕴涵算子是Lukasiewizc蕴涵，那么FMT-a 糊逻辑系统[J].中国科学：E辑，2005,35(12)： 反向三I解A。的表达式为：对x∈X,y∈Y, 1314-1326

·500. 智能系统学报 第7卷 [10]谷敏强，刘智斌基于Schweizer-Sklar算子的模糊推理模 桑睨，女，1987年生，硕士研究生， 型的连续性[J].应用数学学报，2010,33(3)：532-546. 主要研究方向为模糊逻辑与模糊推理 GU Mingiang,LIU Zhibin.On the continuity of the fuzzy rea 算法。 soning models based on Schweizer-Sklar operations[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2010,33(3):532-546. [11]姚宁.基于一致范数的逻辑系统的研究[D].杭州：中国 计量学院，2011：1527. 作者简介： 何华灿，男，1938年生，教授，博士 罗敏霞，女，1964年生，教授，博士， 生导师，原中国人工智能学会副理事长 中国人工智能学会基础专业委员会常 暨人工智能基础专业委员会主任.主要 务委员.主要研究方向为计算机科学中 研究方向为人工智能基础、泛逻辑学和 的非经典逻辑、模制推理算法等.发表 统一无穷理论.发表学术论文160余 学术论文70余篇，10余篇被SCI1EI检 篇，其中30余篇被SCI、EI检索，出版专 索，出版专著2部. 著6部. 第14届中国机器学习会议 The 14th China Conference on Machine Learning 第14届中国机器学习会议(CCM12013)由中国人工智能学会和中国计算机学会联合主办，中国人工智能学 会机器学习专业委员会和中国计算机学会人工智能与模式识别专业委员会协办，昆明理工大学承办，云南农业大 学、云南大学、云南师范大学、云南民族大学、云南财经大学、昆明学院联合承办.该系列会议每两年举行一次，现 已成为国内机器学习界最主要的学术活动.根据中国人工智能学会要求，该会议从2011年起改为每逢奇数年举 行.此次会议将为机器学习及相关研究领域的学者交流最新研究成果、进行广泛的学术讨论提供便利，并且将邀 请国内机器学习领域的著名学者做精彩报告.征稿范围（征求但不限于如下主题）： 机器学习的新理论、 特征选择 多示例学习 新技术与新应用 模糊集与粗糙集 增量学习与在线学习 多任务学习 非监督学习 生物特征识别 聚类 流形学习与降维 神经网络 人类学习的计算模型 多Agent系统中的学习 对复杂结构数据的学习 多标记学习 半监督学习 生物信息学 异常检测 距离度量学习 集成学习 计算学习理论 模式识别 增强学习系统可理解性 主动学习 强化学习 自然语言处理 演化计算 基于案例的推理 数据挖掘与知识发现 监督学习 信息检索 语音、图像处理与理解 投稿要求：论文必须未公开发表过，一般不超过6000字；只接受中文稿；论文应包括题目、作者姓名、作者 单位、摘要、关键字、正文和参考文献；另附作者通讯地址、邮编、电话或传真及E-mil地址；学生（不包括博士后 和在职博士生)第一作者的论文稿件请在首页脚注中注明，否则将不具有参选“优秀学生论文”的资格 会议网站：http:/www.lip.cn/CCML2003/index.html