北京理工大学：《工程力学》教学资源（PPT课件讲义）第十六章 能量法

工程力学 ●第十六章能量法 ●第十七章静不定结构 ●第十八章压杆稳定 第二十四章变形固体的几个动力失效色 附录平面图形的几何性质和弯曲

工程力学 ⚫ 第十六章 能量法 ⚫ 第十七章 静不定结构 ⚫ 第十八章 压杆稳定 ⚫ 第二十四章 变形固体的几个动力失效问题 ⚫ 附 录 平面图形的几何性质和弯曲强度

第十六章能量法 ●8161弹性变形势能的计算 ●§162虚位移原理用于变形固 §163单位载荷法 §164计算莫尔积分的图乘法 ●§16.5互等定理 ●_§166势能驻值原理和最小勢能原理

第十六章 能量法 ⚫ §16.1 弹性变形势能的计算 ⚫ §16.2 虚位移原理用于变形固体 ⚫ §16.3 单位载荷法 ⚫ §16.4 计算莫尔积分的图乘法 ⚫ §16.5 互等定理 ⚫ §16.6 势能驻值原理和最小势能原理

§16.1弹性变形势能的计算 1.弹性变形能:简称变形能、应变能。用U表示。 量纲:[力长度]单位:焦耳,1J=1Nm 2.比能:u,单位体积的变形能 3.功能原理:静载(动能及其它能量变化均略去) U=W(外力所做的功)

§16.1 弹性变形势能的计算  = V U du ⒈ 弹性变形能：简称变形能、应变能。用U表示。 量纲：[力][长度] 单位：焦耳，1J=1N•m ⒉ 比能：ｕ，单位体积的变形能。 ⒊ 功能原理：静载 （动能及其它能量变化均略去） U=W（外力所做的功）

16.1.1外力功的计算 静载:外力由0缓慢增加到最终值P,外力作用 点的位置也由0增加到最终值△ W=L pd ds ∧是曲线与横轴所包面积 若材料服从胡克定律,曲线一斜直线 W=p△其中力和位移都是广义的

16.1.1 外力功的计算   = 0 W pd 是曲线与横轴所包面积 若材料服从胡克定律，曲线 斜直线。 W = P 其中力和位移都是广义的 2 1 → 静载：外力由0缓慢增加到最终值P，外力作用 点的位置也由0增加到最终值Δ。 P P p    d

力——线位移 力偶——角位移 △ △

PP 力——线位移 力偶——角位移   P1 

16.1.2~3应变能及比能的计算 1.基本变形件的应变能和比能 基本变形 杆件变形能U比能u N U=-PAl of 轴向拉(压) 2EA 2E N-l U N2(x) dx 2EA 2EA AL2E 圆轴扭转 U=mo 2G1 X dx 22G QG/

16．1．2～3 应变能及比能的计算 ⒈基本变形件的应变能和比能。 EA N l U P l 2 2 1 2 =  =  = l dx EA N x U 2 ( ) 2 E u 2 2 1 2  =  =          = EA Al E N l 2 1 2 2 2  轴向拉（压） 基本变形 杆件变形能U 比能u 圆轴扭转 m GIP T l U m 2 2 1 2 =  =  = l P dx GI T x U 2 ( ) 2 G u 2 2 1 2  =  =

弯曲纯弯曲 U=1m,n-M21 6 2EI 2E 2EⅠ

m m  EI M l U m 2 2 1 2 =  = dx EI M x U l = 2 ( ) 2 E u 2 2 1 2  =  = 弯曲 纯弯曲

注:1)纯弯曲时,0=M的证明 El 法1.1d_M M 6 E El M mL 法2.=0+0n,而O,=0n=(3+5)B2 2)剪切弯曲时,应分别计算弯曲和剪切变形相 对应的应变能。剪切应变能为 KO U x 2GA

注：1）纯弯曲时， 的证明： EI Ml  = 法⒉  = A + B , 而 EI Ml EI Ml A B 6 2 1 3 1  =       =  = + dx GA KQ x U l = 2 ( ) 2 2）剪切弯曲时，应分别计算弯曲和剪切变形相 对应的应变能。剪切应变能为 EI M ds d = =   1 EI Ml 法⒈ ，  =

K是无量纲系数,与截面形状,尺寸有 关 10 但在细长梁情况下,对应的剪切应变能与弯 曲应变能相比,一般很小,长略去不计。 3)应变能的计算,不能用叠加原理。 习题16.1试判断应变能的下列叠加形式是否 正确

K 是无量纲系数，与截面形状，尺寸有 关 ： ， ： 但在细长梁情况下，对应的剪切应变能与弯 曲应变能相比，一般很小，长略去不计。 5 6 9 10 3）应变能的计算，不能用叠加原理。 习题 16.1 试判断应变能的下列叠加形式是否 正确

PP P (a)U/(2P2)=U(P)+U(P2) (d)U(2P)=2U(P (b) p(e) P (b)U(B2,P2)=U(R)+U(2),(e)U(P,M)=U(P)+U/(M) C M (c)U(M12M2)=U(M1+U(M2)

P1 (a) P2 P1 P2 (b) P P (d) P M (e) ( ) ( , ) ( ) ( ); a U P1 P2 =U P1 +U P2 ( ) ( , ) ( ) ( ); b U P1 P2 =U P1 +U P2 ( ) ( , ) ( ) ( ); U M1 M2 U M1 U M2 c = + (d) U(2P) = 2U(P); (e) U(P,M) =U(P) +U(M) M1 M2 (c)