《大学物理学》课程教学资源（PPT课件）第七章 电荷和静电场 §7-3 高斯定理

例3半径为R的均匀带电细圆环，带电量为9圆环轴线上任一点P的电场强度求Xt.dEdEdE,1 dq解dE.-dq = AdlD4元0dE,=dEsinedoE-JuE=I dE,=dEcosoROdo圆环上电荷分布关于x轴对称E1=0cosedg9IdqcosoE=cosO-4元804元84元80COsO=Xqxr=(R2 +x2)/2E4元0 (R2 + x)3/2

1 圆环轴线上任一点P 的电场强度。 R P 解 dq dq = dl O x 3 0 1 d d 4 q E r  r =  2 0 1 d d ˆ 4 r q E E e  r = =    E E θ x d = d cos dE⊥ = dEsinθ r  E  d Ex  d E⊥  d 例3 半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q。 求 = 0 圆环上电荷分布关于 E⊥ x 轴对称   = θ r q Ex cos d 4 1 2 0  θ r q cos 4 1 2 0  =   = q r θ d cos 4 1 2 0  r x cosθ = 2 2 1/ 2 r = (R + x ) 2 2 3/ 2 0 4 ( ) 1 R x qx E  + = 

2qx讨论1E4元0(R+×2)3/2P（1）当×=0（即P点在圆环中心处）时，E=0019E=(2) 当 x>>R 时4元80xR0相当一个点电荷9所产生的电场dq推广：面密度为的圆板在轴线上任一点的电场强度XdEPdq = 2元rdroxdq1dEr2 + x2)3/24元8dyrdrxE=(r2 + x2)3/226XqE=(R'+r")iale,2元8R22

2 (1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时， E = 0 (2) 当 x>>R 时 2 4 0 1 x q E  = 讨论1 2 2 3/ 2 0 4 ( ) 1 R x qx E  + =  R P dq O x r  E  d Ex  d E⊥  d 相当一个点电荷q所产生的电场 r R dr P x O E  d 推广：面密度为  的圆板在轴线上任一点的电场强度 dq = 2rdr 2 2 3 / 2 4 0 ( ) 1 r x x q E  + = d d  0 2 2 3/2 0 2 ( ) R x rdr E r x   = +  2 2 2 1/2 0 [1 ]ˆ 2 ( ) x q x E e  R R x = −  +

讨论2xT(R +x)/2li260(1)补偿法QE=ER2 +ER11xoT2 (R +x)(R +r)yalR（2）带圆孔的均匀无限大平板(R2~→ )E=Xo260 (R° +x)/2?EE(R=0,R2-→0)-（3）均匀无限大平板2803

3 讨论2 (3) 均匀无限大平板 0 2  E = (1) 补偿法 i R x R x x  ] ( ) 1 ( ) 1 [ 2 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 0 1 + − + =   E ER2 ER1    = + R1 R2 p x O 2 2 1/ 2 0 [1 ] 2 ( ) x E i R x   = − + (2) 带圆孔的均匀无限大平板 （R2→∞） 2 2 1/ 2 0 1 2 ( ) x E i R x   = + （R1=0，R2→∞）

例4求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。解F =-qEF=qE相对于0点的力矩福M =F--ising +F/sine2=qlEsineF↑CCM=ql×E=pxEE讨论元(1)D力偶矩最大；2力偶矩为零（电偶极子处于稳定平衡）；0=0(2)0=元力偶矩为零（电偶极子处于非稳定平衡）。(3)4

4 例4 解 F qE   + = F qE   − = − 相对于O点的力矩 M F l θ F lsinθ 2 1 sin 2 1 =  +  + − = qlEsinθ M ql E p E      =  =  (1) 力偶矩最大； 2  θ = (2)  = 0 力偶矩为零 (电偶极子处于稳定平衡)； (3)  =  力偶矩为零 (电偶极子处于非稳定平衡)。 E − q + q l F+  F−  θ p 求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。 讨论 O

S 7-3 高斯定理，电场线(electric line of field)E1. 定义电场线上各点的切线方向与该点场强的方向一致在垂直于电场线的单位面积上穿过的曲线条数与该处的电+q场强度的大小成正比。2. 性质（1）起于正电荷(或无限远)，止于负电荷(或无限远);（2）不闭合，也不在没有电荷的地方中断：（3）两条电场线在没有电荷的地方不会相交

5 （1）起于正电荷(或无限远)，止于负电荷(或无限远)； （2）不闭合，也不在没有电荷的地方中断； （3）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。 一、电场线(electric line of field) 1. 定义 电场线上各点的切线方向与 该点场强的方向一致； 在垂直于电场线的单位面积 上穿过的曲线条数与该处的电 场强度的大小成正比。 E +q  E  +q − q 2. 性质 §7-3 高斯定理

典型的电场线图形单个点电荷的场一对点电荷的场

6 单个点电荷的场 一对点电荷的场 典型的电场线图形

一、 电通量(electric flux)1.定义通过任一面积元的电场线的条数称为通过这一面积元的电场强度通量（简称电通量）如果垂直于电场强度的面积为dS，穿过的电场线条数为dΦ，那么ddEE8ds若选择比例系数为1，则有dΦ=Ed S如果在电场强度为E的匀强电场中，平面S与电场强度E相垂直，则Φ=ES

7 1. 定义 二、电通量(electric flux) 通过任一面积元的电场线的条数称为通过这一 面积元的电场强度通量（简称电通量） 。 如果垂直于电场强度的面积为dS，穿过的电场 线条数为de，那么 S Φ E d d e  S E  若选择比例系数为1，则有de = E d S . 如果在电场强度为 的匀强电场中，平面 与 电场强度 相垂直， 则e = E S 。 E  E  S 

主nE如在场强为E的匀强电场中，平面S与场强E不垂直，其法线n与场强E成θ角则Φ。=EScoso 或 Φ.=E.StE如果在非匀强电场中有一任意曲面S，可以把曲面S分成许多小面元dS，ds可近似地看为平面，在dS范围内场强 E 可认为处处相E同。这样，穿过面元dS的电场线An0条数可以表示为dsasdd.=E.ds

8 E S   de = d ⊥ dS dS  n  E  E  P S  n  S  θ S n  E  如果在非匀强电场中有一任意 曲面S，可以把曲面S分成许多小 面元dS，dS可近似地看为平面， 在dS范围内场强 可认为处处相 同。这样，穿过面元dS的电场线 条数可以表示为 E  e = ES cos E S   =  或 e E  E  E  n  如在场强为 的匀强电场中，平面 与 场强 不垂直，其法线 与场强 成 角， 则

通过任一曲面s的电通量：Φ。=J dd。= E·ds通过闭合曲面s的电通量：d。=EdsS2.方向的规定nn闭合曲面的外法线方向为正。(自内向外为正)非闭合曲面申通量的正负取决于E与n正向夹角的余弦值，EEnnnSEdΦ >0dΦ =0dΦ. <0

9 通过任一曲面S 的电通量： e e d d S S Φ = =  Φ E S   d 0 e = de  0 2. 方向的规定 闭合曲面的外法线方向为正。 (自内向外为正) de  0 n  通过闭合曲面S 的电通量：  = S Φ E S   d e n  E  S  n  E  S  n  E  S n   非闭合曲面电通量的正负取决 于 E 与 正向夹角的余弦值。  n 

三、高斯定理（Gauss theorem)静电场中任意闭合曲面S的电通量，等于该曲面所包围的电量除以o，而与S以外的电荷无关HE·ds-Eq数学表达式Co insidei1.证明包围点电荷g的同心球面S的电通量球面上各点的场强方向与其径向相同球面上各点的场强大小由库仑定律给出E1 qdsdΦ. = E.dS = EdsqS4元8。A10

10 三、 高斯定理（Gauss theorem） 静电场中任意闭合曲面S的电通量，等于该曲面 所包围的电量除以ε0，而与S以外的电荷无关。   =  inside i i S E S q 0 , 1 d    数学表达式 1. 证明包围点电荷q 的同心球面S 的电通量 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。 S r q E S E S d 4π 1 d d d 2 0 e   =  = =   q r  E  S