线性系统理论——李雅普诺夫第二方法

§7-4李雅普诺夫第二方法 (1892年博士论文:运动稳定性的一般问题) 为了分析运动的稳定性李雅普诺夫提出了两种方 法 第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方程 的显式来对稳定性进行分析这是一个间接的方法; 第二种方法不是求解微分方程组而是通过构 造所谓的李雅普诺夫函数来直接判断运动的稳定 性,因此又称为直接法, 目前仍是研究非线性、时变系统比较有效的方法

§7—4 李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方 法, 第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方程 的显式来对稳定性进行分析,这是一个间接的方法; 第二种方法不是求解微分方程组,而是通过构 造所谓的李雅普诺夫函数来直接判断运动的稳定 性,因此又称为直接法, (1892年博士论文：运动稳定性的一般问题) 目前仍是研究非线性、时变系统比较有效的方法

例题7-7(P247) 主要介绍李氏第二方法的思路 ,符号函数的定义 V(x):x0(0,0<kx|<eV(x)可以取到不同符号

例题7-7(P.247) 主要介绍李氏第二方法的思路 一，符号函数的定义 V(x) ：‖x ‖ 0 (0, 0<‖x ‖ < ε V(x)可以取到不同符号

正定函数V(x)=C1>0的等值线示意图 C<C<C<C<<C<c

正定函数 V(x) = Ci > 0 的等值线示意图 C1 ＜C2 ＜C3 ＜C4 ＜C5 ＜C6 ＜C7 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

例:变号V(x1x2)=x1x2 讨论方程 文=f(x)(7-39) f(o) O Ⅹ=0是方程的解,现研究ⅹ=0的稳定性

ε 例： 变号 V(x1 ,x2 ) = x1x2 x1 x2 + + － － 讨论方程 f(0) 0 x f(x) =  = (7-39) X = 0 是方程的解,现研究 x = 0 的稳定性

函数Vx)沿方程(7-39)解的导数是指 dv(x) Ov(x) 、Ov(x) f1(x) dt ∑ ∑ Ox av(x) Ov(x) av(x)‖f2(x) Ov(x) f(x)

f(x) x v(x) f (x) f (x) f (x) x v(x) x v(x) x v(x) f (x) x v(x) x x v(x) dt dv(x) T n 2 1 1 2 n i n i 1 i i n i 1 i         =                         =   =   =   = =    函数V(x)沿方程(7-39)解的导数是指

二,几个主要定理 定理7-20 若v(x)正定(负定),且沿方程(7-39)的导数 v(x)=()f(x)=∑ f;(x)≤0(≥0)(7-40) 则(7-39)的零解稳定

若v(x)正定（负定），且沿方程（7-39）的导数 f (x) 0( 0) x v ) f(x) x v v(x) ( i n i 1 i T     =   = =  （7-40） 则（7-39）的零解稳定。 二，几个主要定理 定理7-20*

定理7-21*若v(x)正定(负定),且v(x)沿方程 (7-39)解的导数 dv(x) av ()f(x)= f1(x)0)(7-40 dt Ox ∑ Ox 则(7-39)的零解渐近稳定 ⅴ正定随着x增加而增加0 42=负定,说明运动是按着使v减小 的方向进行的 t∈[,+∞)文<0随着t增加时,x变小

定理7-21* 若v(x)正定（负定），且v(x)沿方程 （7-39）解的导数 f (x) 0( 0) x v ) f(x) x v ( dt dv(x) i n i 1 i T     =   = = (7-40) 则（7-39）的零解渐近稳定。 随着t增加时，x变小, dt dx dx dV(x) dt dV(x) = t t 0 ,+) x   0 v正定 随着x增加而增加 0 dx dV(x)  负定,说明运动是按着使v减小 的方向进行的

定理7-21**若vx)正定(负定),v(x)沿方程(7-39) 的导数 v(x)=()f(x)=∑f(x)≤0(≥0)(740) 且沿方程(7-39)的任一非零解ⅴ不恒为零, 则(7-39)的零解渐近稳定。 定理720*v(X)>0≤O 稳定 定理721(x)>0 O 渐近稳定 定理721*v(x)>0≤O不恒为零渐近稳定

v   0 v   0 v   0 定理7-20* 定理7-21* 定理7-21** v(x)>0 v(x)>0 v(x)>0 渐近稳定 不恒为零 渐近稳定 稳定 定理7-21** 若v(x)正定（负定），v(x)沿方程（7-39） 的导数 f (x) 0( 0) x v ) f(x) x v v(x) ( i n i 1 i T     =   = =  (7-40)* 且沿方程（7-39）的任一非零解 不恒为零， 则（7-39）的零解渐近稳定。 v 

定理7-22*设v(x),k|0区域,这种 区域可能包含若干个子区域u;。u的边界是由v=0 和=s所组成。 (2)在某个子区域,v>0 则(7-39)的零解是不稳定的

定理7-22* 设v（x）, ‖x ‖ 0区域，这种 区域可能包含若干个子区域uj 。 uj的边界是由v=0 和‖x ‖ = 所组成。 （2）在某个子区域, v   0 则（ 7-39）的零解是不稳定的

定理7-22*意义 v>O:uiG=1,2,3) ⅳ>0 u

ε 定理7-22*意义 x1 x2 v>0： uj (j=1,2,3) u2 u1 u3 v   0