湖北大学数计学院：《计算机图形学》第八章 交互技术与用户接口

计算机图形学 第八章 交互技术与用户接口 日 日田日日M日

2021-2-23 1 计算机图形学 第八章 交互技术与用户接口

第十章曲线与曲面 参数曲线基础 参数多项式曲线 三次 Hermite曲线 bezier曲线 参数多项式曲面 Bezier曲面 2021-2-23 2

2021-2-23 22 第十章 曲线与曲面 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • 参数多项式曲面 • Bezier曲面

第十章曲线与曲面 参数曲线基础 参数多项式曲线 三次 Hermite线 Bezier曲线 参数多项式曲面 Bezier曲面 2021-2-23

2021-2-23 33 第十章 曲线与曲面 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • 参数多项式曲面 • Bezier曲面

数曲线基础(1/20) 曲线的表示形式 非参数表示 显式表示∫y=/f(x) 隐式表示 ∫f(xy,z)=0 g(x,y,2)=0 2021-2-23 44

2021-2-23 44 参数曲线基础（1/20） • 曲线的表示形式 – 非参数表示 • 显式表示 • 隐式表示      ( ) ( ) z g x y f x      ( , , ) 0 ( , , ) 0 g x y z f x y z

参数曲线基础(2/20) 参数表示 y=y(0)∈|a.b 参数的含义 时间,距离,角度,比例等等 规范参数区间[0,1 矢量表示形式P=P()∈0 例子:直线段的参数表示 2021-2-23 5

2021-2-23 55 参数曲线基础（2/ 20） – 参数表示 • 参数的含义 – 时间，距离，角度，比例等等 – 规范参数区间[0，1] – 矢量表示形式 – 例子：直线段的参数表示          [ , ] ( ) ( ) ( ) t a b z z t y y t x x t P  P(t) t [0,1]

参数曲线基础(3/20) 显式或隐式表示存在下述问题: (1)与坐标轴相关; (2)会出现斜率为无穷大的情形(如垂线); (4)不便于计算机编程。 (3)对于非平面曲线、曲面,难以用常系数的 非参数化函数表示; 2021-2-23 6

2021-2-23 66 参数曲线基础（3/20） • 显式或隐式表示存在下述问题： （1）与坐标轴相关； （2）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； （4）不便于计算机编程。 （3）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的 非参数化函数表示；

参数曲线基础(4/20) 参数表示的优点: (1)以满足几何不变性的要求 (2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 (3)对曲线、曲面进行变换,可对其参数方程直接进行几 何变换。 (4)便于处理斜率为无穷大的情形,不会因此而中断计算 (5)变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量, 便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 (6)规格化的参数变量t∈[0,1],使其相应的几何分量 是有界的,而不必用另外的参数去定义边界。 (7)2易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算

2021-2-23 77 参数曲线基础（4/20） • 参数表示的优点： （ 1）以满足几何不变性的要求。 （ 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 （ 3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几 何变换。 （ 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量， 便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量 是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算

参数曲线基础(5/20) 参数表示与隐式表示的相互转换 例子 B P(x,y) P=+(=B)∈0 2 2021-2-23 8

2021-2-23 88 参数曲线基础（5/20） – 参数表示与隐式表示的相互转换 – 例子 ( ) [0,1] P  P0  t P1  P0 t 

参数曲线基础(6/20) 正则点 导数不为零的点 正则曲线 所有的点都是正则点的曲线 斜率 直线的倾斜程度 个坐标变量关于另一个坐标变量变化率 2021-2-23 9

2021-2-23 99 参数曲线基础（6/20） • 正则点 – 导数不为零的点 • 正则曲线 – 所有的点都是正则点的曲线 • 斜率 – 直线的倾斜程度 – 一个坐标变量关于另一个坐标变量变化率

参数曲线基础(7/20) 切矢量 P() P(t+△) 坐标变量关于参数的变化率 y 弧长 =∑P= P() 2021-2-23

2021-2-23 1010 参数曲线基础（7/20） • 切矢量 – 坐标变量关于参数的变化率 • 弧长          t n i i i n n dt dt dP t s L n P P 0 1 1 ( ) lim ( ) lim            ( ) ( ) ( ) ( ) z t y t x t P t