《系统辨识理论及应用》教学课件（PPT讲稿）相关基础知识

相关基础知识 随机变量 随机变量的数字特征 参数估计 今回归分析 随机过程 今随机过程的数字特征 随机过程的谱密度

相关基础知识 ❖ 随机变量 ❖ 随机变量的数字特征 ❖ 参数估计 ❖ 回归分析 ❖ 随机过程 ❖ 随机过程的数字特征 ❖ 随机过程的谱密度

随机变量 要把随机事件的概率研究清楚,仅用初等数学方法不行, 我们需要引进高等数学的方法。先引进随机变量概念,将 随机事件进行量化。 根据随机试验的结果而确定取某一个数值的变量, 称为一维随机变量。 通常用X,Y,Z或2η;等表示

随机变量 要把随机事件的概率研究清楚，仅用初等数学方法不行， 我们需要引进高等数学的方法。先引进随机变量概念，将 随机事件进行量化。 根据随机试验的结果而确定取某一个数值的变量， 称为一维随机变量。 通常用 X,Y,Z 或 ξ,η,ζ 等表示

由两个一维随机变量确定的有序数组,称为二维随机变量。 记为(XY) 由多个一维随机变量确定的有序数组,称为多维随机变量。 记为(X1X2,Xn) 如果随机试验的基本空间为g2,是g中的任一元素, 随机变量X可以看作是一个以o为“自变量”的函数, 记为X=X(o) 例上抛一分币的基本空间g={H,T},若定义正面向上时 X=1,反面向上时X=0,则XH)=1X(T=0

由两个一维随机变量确定的有序数组，称为二维随机变量。 记为(X,Y)。 由多个一维随机变量确定的有序数组，称为多维随机变量。 记为(X1,X2,…,Xn)。 如果随机试验的基本空间为 Ω，ω 是 Ω 中的任一元素， 则随机变量 X 可以看作是一个以 ω 为“自变量”的函数， 记为 X=X(ω)。 例 上抛一分币的基本空间 Ω= {H,T},若定义正面向上时 X=1，反面向上时 X=0，则 X(H)=1,X(T)=0

2一维随机变量的分布函数 设X是一随机变量,P(A)是一个概率函数,定义 F(x)=P{X<x},x∈D. 称F(x)为X分布函数。 从定义知,F(x)实际上是X落在(∞,x)内的概率,当x变化 (-∞,x)对应不同的随机事件,从而给出不同的概率值,由此 F(x)的定义域为(∞,+oo),值域为(0,1)因此有如下性质:

2 一维随机变量的分布函数 设 X 是 一随机变量，P(A)是一个概率函数，定义 F(x)=P{X<x},x∈D. 称 F(x)为 X 分布函数。 从定义知，F(x)实际上是 X 落在(-∞,x)内的概率，当 x 变化 (-∞,x)对应不同的随机事件，从而给出不同的概率值，由此 F(x)的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,1).因此有如下性质：

10≤F(x)≤1,x∈R 2当x<x2时F(x)≤F(x2) 3 lim F(x)=0, lim F(x)=1 x→-00 x→)+0 4°mF(x)=F(x)即F(x)处处左连续; x→x 5 PiasX<b;=PX <b) -p(X <a;=F(b)-F(a

1 0 ( ) 1, ; 0  F x  x  R 2 , ( ) ( ); 1 2 1 2 0 当x  x 时 F x  F x 3 lim ( ) 0, lim ( ) 1; 0 = = →− →+ F x F x x x 4 lim ( ) ( 0 ),即 ( )处处左连续； 0 0 0 F x F x F x x x = → − 5 { } { } { } ( ) ( ). 0 P a  X  b = P X  b − P X  a = F b − F a

3二维随机变量的分布函数 设(X,Y)为一个二维随机变量,称 F(x, y=PX<X, Y<y) 为二维随机变量(X,Y)的分布函数 .X, y

3 二维随机变量的分布函数 设(X,Y)为一个二维随机变量，称 F(x,y)=P{X<x,Y<y} 为二维随机变量(X,Y)的分布函数

10≤F(x,y)≤1; 2F(x,y)是x,y的单调非减函数 3F(x,-∞)=F(-∞,y)=0,F(+∞,+∞)=l 4当D为不等式1≤x≤x2,y≤y≤y2所确定 矩形区域时, P(X,)∈D}= F(x12y1)+F(x2,y2)-F(x12y2)-F(x2,y1)

1 0 ( , ) 1; 0  F x y  2 0 F(x, y)是x, y的单调非减函数； 3 ( , ) ( , ) 0, ( , ) 1; 0 F x − = F − y = F + + = 4 0 当D为不等式x1  x  x2 , y1  y  y2 所确定 矩形区域时， P{( X ,Y)  D} = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). 1 1 2 2 1 2 2 1 F x y + F x y − F x y − F x y

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 PX=x=p 若级数∑xp绝对收敛,则称级数∑xD, 为随机变量X的数学期望,简称期望或均值 记作E(X)=∑x,P

离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为 i pi P{X = x } = 若级数 绝对收敛，  i=1 i pi x 则称级数 ，  i=1 i pi x 为随机变量X的数学期望，简称期望或均值， ( )  .  = = i 1 i pi 记 作E X x

3连续型随机变量的数学期望 定义设连续型随机变量X的分布密度为p(x) 若积分∫x以对是绝对收敛,则称此积分值 为X的数学期望,记作E(X,即 E(X)=xp(x) 若有X函数(X),则 E((X))=xp(x)dx

3 连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量X的分布密度为p(x), 若积分 是绝对收敛， + − x p(x)dx 则称此积分值 为X的数学期望，记作E(X),即 ( ) ( ) .  + − E X = x p x dx 若有X函数f (X),则. ( ( )) ( ) .  + − E f X = x p x dx