复旦大学：《数学分析》教材习题全解（下册）第十三章 重积分 习题 13.5 微分形式

习题13.5微分形式 1.计算下列外积: (1)(xdx+7=2dy)A(ydx-xdy+6d=) (2)(cos ydx+cos xdy)a(sin ydx-sin xdy); (3)(6∧d+27ax∧d)(dx+d+d) AF(1)(xdx+7=2dy)a(ydx-xdy+6d= (x+7yz- )dx a dy +42=dy a d= -6xdz a dx (2)(cos ydx+cos xdy )A(sin ydx-sin xdy) sin(x+y)dx∧d (3)(6∧的+27dx∧d)∧(dx++d) =-2ldx∧dyAd 2.设 @=ao +a,dx ,+, dx a dx, +a, dx A dx, a dxa n=b,dx, a dx,+b,dx, Adx,+b, dx, dx2+bdx,Adx3∧d 求+n和a∧n 解+ b,dx, ndx+(a2+b2 d +btx1∧dx2∧ax3+(a3+b)dx2Adx3Adx4; ∧n=abx1∧ax2+a0b2dx∧d3+a0b2 obdx2∧ax3^dx4+a1b4dx1∧dx2∧dx3Adx4 3.求 dx A dx2+x, dx2 A,+(1+x 2 )dx, A dx, 的标准形式 解 xdx, a dx dx3+(xf +x3)dx2 Adx -(x2 4.证明外积满足分配律和结合律 证由外积的线性性质,只需对a,n,分别是p-形式、q-形式和r-形 式的情形证明即可。 设o=∑f(x),=∑g(x)bx,=∑h(x)k,则 Aa=∑(x)+∑81(x),^∑h(x)dk ∑f(x)hk(x)tx1^ak+∑g/(xhk(x)tx^dk 0∧+1∧σ

习 题 13.5 微分形式 1. 计算下列外积： （1）(xdx + 7z 2 dy) ∧ ( ydx − xdy + 6dz)； （2）(cos ydx + cos xdy) ∧ (sin ydx − sin xdy)； （3）(6dx ∧ dy + 27dx ∧ dz) ∧ (dx + dy + dz)。 解（1）( 7 ) ( 6 ) 2 xdx + z dy ∧ ydx − xdy + dz = − (x + 7 yz )dx ∧ dy 2 2 + 42z dy ∧ dz − 6xdz ∧ dx 2 。 （2）(cos ydx + cos xdy) ∧ (sin ydx − sin xdy) = − sin(x + y)dx ∧ dy 。 （3）(6dx ∧ dy + 27dx ∧ dz) ∧ (dx + dy + dz) = − 21dx ∧ dy ∧ dz 。 2. 设 1 1 2 2 1 3 3 1 2 3 4 2 3 4 。 0 1 1 2 1 3 3 2 3 4 d d d d d d d d d d d d d d d d , b x x b x x b x x x b x x x a a x a x x a x x x = ∧ + ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ = + + ∧ + ∧ ∧ η ω 求ω +η和ω ∧η。 解 0 1 1 1 1 2 2 2 1 3 ω +η = a + a dx + b dx ∧ dx + (a + b )dx ∧ dx + b3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 3 4 2 3 4 + (a + b )dx ∧ dx ∧ dx ； ω ∧η = a0b1dx1 ∧ dx2 + a0b2dx1 ∧ dx3 + a0b3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + a0b4dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + a1b4dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 。 3. 求 3 2 2 2 1 3 1 2 2 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 1 2 3 2 3 2 ( )d d d d d d d d d (1 )d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + ∧ ∧ − ∧ ω = ∧ + ∧ + + ∧ + ∧ 的标准形式。 解 ω = 1dx1 dx2 dx1 dx3 x ∧ + ∧ 3 2 3 2 1 + (x + x )dx ∧ dx 1 2 3 2 3 2 2 − (x + x )dx ∧ dx ∧ dx 。 4. 证明外积满足分配律和结合律。 证 由外积的线性性质，只需对ω,η,σ 分别是 p − 形式、q −形式和r −形 式的情形证明即可。 设 K K J K J I J I ω = ∑ f I (x)dx ,η = ∑g (x)dx ,σ = ∑h (x)dx ，则 (ω +η) ∧σ = K K J K J I J I I ∑ f (x)dx ∑g (x)dx ∧∑h (x)dx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∑ ∧ + ∑ ∧ J K J K J K I K fI x hK x dxI dxK g x h x dx dx , , ( ) ( ) ( ) ( ) =ω ∧σ +η ∧σ 。 1

aA(+n)=∑h(x)dkA∑f(x)x+∑g1(x)dt ∑bk(x)f(x)d∧+∑h(x)g(x)kA A+∧ (Am)A=∑/(x)g1(x)1A∑h(x)k >/(x)g,(x)hx(x)dx,AdxJAdxx ∑f(x)d1∑g1(x)hk(x)bAdk 5.写出微分形式 dx a dy a dz在下列变换下的表达式 (1)柱面坐标变换 x=rcos8, y=rsin,==5 (2)球面坐标变换 x=rsin cose, y=rsin sin 8, ==rcos o 解(1)由 dx cos Bdr-rsin ad0, dy= sin Adr+rcos 6de, dz=dz 得到 x∧ddz= rdradeaa (2)由 sin cos Bar+rcos o cos Ado-rsin sin 6d8, dy= sin o sin edr+rcos o sin Ado+rsin cos ad8, dz=cos odr-rsin do, 得到 dx a dy a dz=r- sin o drAdo n de 6.设o1=S )为R上的1-形式,证明 det(a)dx1∧d 证由于 xAx=-xx(,j=12,…,m),xAx=0(=1,2,…,m), 所以 a1^2A^…∧0 a1 ∑(-1)°aa2

σ ∧ (ω +η) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∧ ∑ +∑ J J I J I K I K Kh (x)dx f (x)dx g (x)dx = ∑ ∧ + ∑ ∧ K J K J K J K I hK x fI x dxK dxI h x g x dx dx , , ( ) ( ) ( ) ( ) =σ ∧ω +σ ∧η 。 ∑ ⎟ ⎟ ∧∑ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∧ ∧ = ∧ K K K I J ( ) f I (x)gJ (x)dxI dxJ h (x)dx , ω η σ K I J K = ∑ fI x gJ x hK x dxI ∧ dxJ ∧ dx , , ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ K J K J K J I f I x dxI g x h x dx dx , ( ) ( ) ( ) = ω ∧ (η ∧σ )。 5. 写出微分形式dx ∧ dy ∧ dz 在下列变换下的表达式： （1）柱面坐标变换 x r = cosθ, y r = sinθ, z = z ； （2）球面坐标变换 x r = sinϕ cosθ, y = rsinϕ sinθ, z = r cosϕ 。 解 （1）由 dx = cosθdr − rsinθdθ , dy = sinθdr + r cosθdθ , dz = dz ， 得到 dx ∧ dy ∧ dz = rdr ∧ dθ ∧ dz。 （2）由 dx = sinϕ cosθdr + r cosϕ cosθdϕ − rsinϕ sinθdθ ， dy = sinϕ sinθdr + r cosϕ sinθdϕ + rsinϕ cosθdθ ， dz = cosϕdr − rsinϕdϕ ， 得到 dx ∧ dy ∧ dz = r 2 sinϕ dr ∧ dϕ ∧ dθ 。 6. 设 ∑ （ ）为 = = n i i j j i a x 1 ω d j = 1,2,", n n R 上的 1-形式，证明 n j n i det(a )dx dx dx ω1 ∧ω 2 ∧"∧ω = 1 ∧ 2 ∧"∧ 。 证 由于 x x x x (i, j 1,2, ,n) i ∧ j = − j ∧ i = " ， x x 0(i 1,2, , n) i ∧ i = = " ， 所以 ∑ = ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ n i i i i i i n n i i i n n n a a a x x x , , 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d d d " ω ω " ω " " ∑ ≤ < < < ≤ = − ∧ ∧ ∧ n i i i n n n i i i n n a a a x x x " " " 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( 1) d d d σ 2

deta)dx1Adx2∧ 其中σ是排列(1,i2…)的逆序数

= det(ai j )dx1 ∧ dx2 ∧"∧ dxn ， 其中σ 是排列(i 1,i2 ,",in )的逆序数。 3